Diferenciales: Teorema de Schwarz

Teorema (Schwarz)

Sea f:U ⊂ ℜ² ⟶ ℜ, U abierto, y ā ∈ U. Si existen fₓ, f_y, f_xy en un entorno de ā y

f_xy es contínua en ā, entonces existe f_xy(ā) y además: f_yx(ā) = f_xy(ā). Este resultado es aplicable a derivadas de orden superior.

Definición:

Decimos que una función es de clase Cᵐ en ā ∈ ℜⁿ si existen todas sus derivadas parciales hasta orden m, y además las funciones son continuas en ā. Análogamente decimos que una función es de clase Cᵐ en A ⊂ ℜⁿ si lo es en todos los puntos de A.

Definición:

Si f es de clase C² en ā, llamamos diferencial segunda de f en ā a:

D²f(ā):ℜⁿ×ℜⁿ ⟶ ℜ

Observación:

1) La diferencial segunda es una forma bilineal

2) La diferencial segunda se puede representar matricialmente:

[D²f(ā)]·(h, k) =

A dicha matriz se la llama Matriz hessiana o hessiano de f.

Por ser f de clase C², se puede aplicar Schwarz, y la matriz es simétrica.

3) Si aplicamos la diferencial segunda al mismo vector dos veces, lo que tenemos es una la forma cuadrática asociada. La podemos asimilar simbólicamente a una binomio:

[D²f(ā)](h, k) = [D²f(ā)](h²)

n = 2

[D²f(ā)](h²) = f₁₁(ā)·h₁² + 2·f₁₂(ā)·h₁·h₂ + f₂₂(ā)·h₂²

En general:

[D²f(ā)](h²) = (∇f·h)²(ā)

Donde el exponente indica el número de veces que se ha de derivar.

Ejemplo: n = 2

= f₁₁·h₁·k₁ + f₁₂·h₁·k₂ + f₂₁·h₂·k₁ + f₂₂·h₂·k₁ =

Definición:

Si f es de clase Cᵐ en ā, llamamos diferencial de orden m en ā a:

Igualmente se puede expresar la diferencial de orden m en ā como un binomio a la m.

Definición:

Sea f:U ⊂ ℜⁿ ⟶ ℜ. U abierto, y f de clase Cᵐ en ā. Entonces se define en polinomio de Taylor de orden m de f en ā como:

Y el resto de Taylor de orden m como:

ℜₘ (f, ā)·(x) = f(x) - Tₘ (f, ā)·(x)

Autor: José Luis Martínez-Avila. España.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).

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