Propiedades de los diferenciales. Ejemplos.

Teorema (Regla de la cadena)

Sea f:U ⊂ ℜⁿ ⟶ ℜᵐ, y g: V ⊂ ℜᵐ ⟶ ℜᵖ, tal que f(U) ⊂ V. Si f es diferenciable en ā ∈ ℜⁿ y g es diferenciable en f(ā), entonces g o f es diferenciable, y además:

D(g o f) = Dg(f(ā))·Df(ā)

Observación:

Por tanto J(g o f)·(ā) = Jg(f(ā))·J f(ā)

Ejemplo nº 1

f(u, v) = (e^{u + v}, e^{u - v}): ℜ² ⟶ ℜ²

g(x, y) = x·cos y:ℜ² ⟶ ℜ

g o f(u, v) = g(f(u, v)) = g(e^{u + v}, e^{u - v}) = e^{u + v}·cos e^{u - v}

J(g o f) =		∂(g o f)		∂(g o f)		= Jg·Jf
		∂u		∂v

Jg =		∂g		∂g
		∂x		∂y

Jf =	∂f₁	∂f₁
	∂u	∂v
	∂f₂	∂f₂
	∂u	∂v

J(g o f) =

∂g

∂f₁

∂g

∂f₂

∂g

∂f₁

∂g

∂f₂

∂x

∂u

∂y

∂u

∂x

∂v

∂y

∂v

Definición:

Sea f:U ⊂ ℜⁿ ⟶ ℜᵐ. Si es diferenciable en todos los puntos de un entorno de ā ∈ U, entonces lo que nos queda es una función de n variables, que es posible volver a derivar. Llamaremos orden de la derivada al número total de veces que hemos derivado.

Notación:

∂	(	∂f	) =	∂²f	=	∂²f
∂xᵢ	(	∂xᵢ	) =	∂xᵢ·xᵢ	=	∂xᵢ²

Además, para simplificar:

fₓ = ∂f/∂x

f_xy = ∂f/∂x∂y

Ejemplo nº 2

f(x, y) = x·sen y

∂f/∂x = sen y

∂f/∂y = x·cos y

∂	(	∂f	) =	∂²f	=	∂²f	= 0
∂x		∂x		∂x∂x		∂x²

∂	(	∂f	) =	∂²f	= cos y
∂y		∂x		∂y∂x

∂	(	∂f	) =	∂²f	= cos y
∂x		∂y		∂x∂y

∂	(	∂f	) =	∂²f	=	∂²f	= -x·sen y
∂y		∂y		∂y∂y		∂y²

Autor: José Luis Martínez-Avila. España.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).

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