Diferencial en varias variables

Teorema (Taylor)

Sea f:U ⊂ ℜⁿ ⟶ ℜ. U abierto, y f de clase Cᵐ ⁺ ¹ en U, y ā, x ∈ U, tales que el segmento L[ā, x] de extremos ā, x está incluido en U. Entonces existe ρ ∈ L[ā, x] - {ā, x} tal que:

Por tanto:

Rₘ(f, ā)(x) = o(||x - ā||ᵐ)

Observación:

Si hacemos x = ā + h, entonces:

Aplicaciones del teorema de Taylor

• Proposición:

1) Sea f:ℜⁿ ⟶ ℜ entonces ∇f(ā) es perpendicular a la curva (n = 2) o superficie (n = 3) de nivel que pasa por ā.

• Demostración:

Sea S una superficie de nivel de f, tal que ā ∈ S

S = {(x, y, z)/f(x, y, z) = constante}

Y sea ā una curva α (0): I ⊂ ℜ ⟶ ℜ³, tal que α(0) = ā y α(I) = S

Si componemos f con α:

J(f o α)(t) = Jf(α (t))·J α(t) = ∇f(α(t))·(α'(t)) = 0

Por ser f(α(t)) = constante

t = 0

∇f(ā)·(α'(0)) = 0 ⇒ ∇f(ā) ˆ (α'(0))

Como α es genérica, ∇f(ā) es perpendicular a toda curva de S, y por tanto es perpendicular a S.

2) Si f:ℜ² ⟶ ℜ es diferenciable en (x₀, y₀), entonces el plano tangente a la gráfica de f en el punto (X₀, Y₀, f(X₀, Y₀)) ∈ ℜ³ es:

π: z - z₀ = fₓ(x₀, y₀)·(x - x₀) + f_y(x₀, y₀)·(y - y₀)

Ejemplo nº 1

Calcular el plano tangente a S: x³ + 2·x²·y + z²·x² = 3 en p = (1, 1, 0)

fₓ = 3·x² + 4·x·y + 2·z²·x

f_y = 2·x²

f_y = 2·z·x²

∇f(1, 1, 0) = (7, 2, 0)

π: 7·x + 2·y - 9 = 0

Definición:

Sea f:U ⊂ ℜⁿ ⟶ ℜ, y ā punto interior de U. Entonces:

1) f alcanza un máximo relativo en ā si existe E, entorno de ā, tal que f(x) ≤ f(ā) ∀ x ∈ E

2) f alcanza un mínimo relativo en ā si existe E, entorno de ā, tal que f(x) ≥ f(ā) ∀ x ∈ E

3) f alcanza un máximo absoluto en ā si f(x) ≤ f(ā) ∀ x ∈ U

4) f alcanza un mínimo absoluto en ā si f(x) ≥ f(ā) ∀ x ∈ U

Diremos que f alcanza un extremo relativo en ā si alcanza un máximo o un mínimo relativo, y que f alcanza un extremo absoluto en ā si alcanza un máximo o un mínimo absoluto.

Teorema:

Si f:U ⊂ ℜⁿ ⟶ ℜ. es contínua en U, y U es un conjunto compacto de ℜⁿ, entonces f alcanza un máximo y un mínimo absolutos en U.

Teorema (condición necesaria):

Sea f:U ⊂ ℜⁿ ⟶ ℜ., y ā punto interior de U. Si f es diferenciable en ā y alcanza un extremo relativo en ā, entonces Df(ā) = 0

Observación:

Los puntos en los que f es diferenciable y se verifica Df(ā) = 0 se llaman puntos estacionarios de la función. Por tanto el teorema anterior asegura que los extremos relativos son puntos estacionarios.

Observación:

Para estudiar si una función tienen máximos o mínimos, la definición antes dada no es nada práctica. Necesitamos la diferencial segunda para estudiar como es la función. Para trabajar con la diferencial segunda, usaremos la forma cuadrática.

Definición:

Sea ω: ℜⁿ ⟶ ℜ una forma cuadrática no nula:

1) Se dice que ω es definida positiva si ω (x) > 0 ∀ x ≠ 0

2) Se dice que ω es definida negativa si ω (x) < 0 ∀ x ≠ 0

3) Se dice que ω es semidefinida positiva si ω (x) ≥ 0 ∀ x ∈ ℜⁿ y ω no es definida positiva

4) Se dice que ω es semidefinida negativa si ω (x) ≤ 0 ∀ x ∈ ℜⁿ y ω no es definida negativa

5) Se dice que ω es indefinida en el resto de los casos, es decir, si existen x, y ∈ ℜⁿ, tales que ω (x) ω (y) < 0

Teorema (condición suficiente):

Sea f:U ⊂ ℜⁿ ⟶ ℜ, U abierto, y supongamos que f es de clase C² en U. Sea ā ∈ U un punto estacionario de f, es decir, tal que Df(ā) = 0. Entonces:

1) Si D²f(ā) es definida positiva, entonces f alcanza en ā un mínimo relativo

2) Si D²f(ā) es definida negativa, entonces f alcanza en ā un máximo relativo

3) Si D²f(ā) es indefinida, entonces f no alcanza en ā un extremo relativo

Observación:

1) Si D²f(ā) es semidefinida (positiva o negativa), el teorema anterior no da ninguna información

2) A los puntos estacionarios para los que D²f(ā) es indefinida se les llama puntos de silla de f

Definición:

Llamamos rango de una forma cuadrática al rango de su matriz asociada y signatura al número de autovalores positivos que posee (contando multiplicidad).

Observación:

Como la matriz asociada a una forma cuadrática es simétrica, siempre tiene n autovalores reales (contando multiplicidad), por lo que el rango de la forma cuadrática es igual al número de autovalores diferentes de cero (contando multiplicidad).

Teorema:

Sea ω: ℜⁿ ⟶ ℜ una forma cuadrática. Entonces:

1) ω es definida positiva si y solo si rango (ω) = n y sig(ω) = n

2) ω es definida positiva si y solo si rango (ω) = n y sig(ω) = 0

3) ω es semidefinida positiva si y solo si rango (ω) = sig(ω) < n

4) ω es semidefinida positiva si y solo si rango (ω) < n y sig(ω) = 0

Teorema (criterio de Sylvester):

Sea Δₖ el determinante de orden k formado por los elementos de las k primeras filas y las k primeras columnas de la matriz asociada a ω. Entonces:

ω es definida positiva si y solo si Δₖ > 0, k = 1, 2, …, n.

ω es definida negativa si y solo si (-1)ᵏΔₖ > 0, k = 1, 2, …, n.

Observación:

En nuestro caso esto lo aplicaremos al hessiano de la función, ya que por ser la diferencial segunda, su matriz es una forma cuadrática.

Definición:

Sea f:U ⊂ ℜⁿ ⟶ ℜ y φ: U ⊂ ℜⁿ ⟶ ℜᵐ (m < n) (ligadura). Sea también

S = {x ∈ U/φ(x) = 0}, y sea ā ∈ S. Entonces se dice que f tiene en ā un extremo relativo condicionado por la ligadura φ(x) = 0 si existe un entorno E de ā tal que se verifica:

f(ā) ≥ f(x) ∀ x ∈ E ∩ S. Entonces ā es un máximo relativo condicionado por φ.

f(ā) ≤ f(x) ∀ x ∈ E ∩ S. Entonces ā es un mínimo relativo condicionado por φ.

Observación:

Lo de condicionado significa que estudiamos la función en el dominio limitado por la superficie S = {x ∈ U/φ(x) = 0}, dada por una función que llamaremos ligadura.

Teorema (condición necesaria):

Sea f:U ⊂ ℜⁿ ⟶ ℜ y φ: U ⊂ ℜⁿ ⟶ ℜᵐ (m < n), U abierto, y f y φ de clase C¹ en U. Sea también ā ∈ U, y supongamos que φ(ā) = 0 y que el rango de D φ(ā) sea m (los vectores gradiente son independientes). Si la función f tiene un extremo relativo en ā condicionado por la ligadura φ(ā) = 0, entonces existen λ₁, …, λₘ ∈ ℜ tales que la función g = f + λ₁·φ₁ + λ₂·φ₂ + … + λₘ·φₘ (Función de Lagrange o lagrangiano) verifica que Dg(ā) = 0 (Tiene un punto estacionario en ā)

Ejemplo nº 2

Hallar los extremos de f(x, y, z) = x² + x·y + z³ condicionados por:

Es fácil darse cuenta que S es una elipse dada por la intersección de un cilindro vertical con un plano oblicuo.

φ₁ = x² + y² - 1

φ₂ = x + z - 2

Construimos el lagrangiano

g = f + λ₁·φ₁ + λ₂·φ₂

Como sabemos que: Df(ā) = 0, y por ser g:ℜ³ ⟶ ℜ, nos queda que ∇g = 0

gₓ = 2·x + y + λ₁·(2·x) + λ₂ = 0

g_y = x + λ₁·(2·y) = 0

g_z = 3·z² + λ₂ = 0

Y además:

x² + y² = 1

x + z = 2

Tenemos cinco incógnitas y cinco ecuaciones. Resolviendo el sistema tenemos los extremos relativos

Observación:

A menudo es muy difícil la resolución de los sistemas de ecuaciones, al no ser estos lineales.

Teorema (condición suficiente):

Además de verificarse el teorema anterior, ahora pedimos que f y φ sean de clase C² en U. Consideramos entonces la forma cuadrática ω = D²f(ā) Entonces:

Si ω es definida positiva, entonces ā es un mínimo relativo de f condicionado por φ

Si ω es definida negativa, entonces ā es un máximo relativo de f condicionado por φ

Si ω es indefinida, entonces ā no es un extremo relativo.

Cálculo (Búsqueda de extremos absolutos en compactos): Si f:D ⊂ ℜⁿ ⟶ ℜ., D compacto, sabemos que f tiene máximo y mínimo absolutos en D. Dichos extremos pueden ser del interior de D, y por tanto están en los puntos estacionarios, o pertenecer a la frontera de D. Para encontrarlos buscaremos los puntos estacionarios del lagrangiano y evaluaremos f en dichos puntos.

Autor: José Luis Martínez-Avila. España.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).

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¿Qué es el gradiente de una función?