Campos vectoriales
Diferenciales exactas
El diferencial:
ω = f·dx + g·dy + h·dz
Es exacto si, siendo el campo asociado:
F = (f, g, h)
Se cumple que:
∇ω = F ⇒ ∇ω = (f, g, h)
Siendo ω(X) el potencial de F, tal que:
f = ωₓ
g = ωy
g = ωz
ω = ωₓ·dx + ωy·dy + ωz·dz
Campos centrales
Teorema 3.8.II
Campo conservativo en un camino abierto conexo (para los puntos P y Q):
∫C F = ω (Q) - ω (P)
Teorema 3.8.III
Campo conservativo en un camino abierto conexo:
∮C F = 0
Teorema 3.8.IV
Campo conservativo continuo en un camino abierto conexo:
Teorema 3.8.V
Campo conservativo de clase C¹ en un camino abierto (conexo o no):
| F'(X) = | fₓ | fy | fz | ⇒ | fy = gₓ | ||||
| gₓ | gy | gz | gz = hy | ||||||
| hₓ | hy | hz | hₓ = fz |
Campos homogéneos
Si: F(t·X) = tα·F(x)
Siendo α el grado de homogeneidad de F.
Teorema de Euler
Si F es homogénea de grado α:
X·∇F(x) = α·F(x)
Teorema 3.10.II
Siendo F homogénea de grado α ≠ -1 y cumple con 3.8.II
ω(X) = (a + 1)⁻¹·X·F(x)
Para ℜ² y ℜ³
Aplicaciones del teorema de Green - campos vectoriales
Teorema 3.11.I:
Si cumple con 3.8.13 y es C¹, D dominio regular:
∫∂D F = 0
Teorema 3.11.II:
Si cumple con 3.8.13 y es C¹, para A simplemente conexo:
F es conservativo en A.
Teorema 3.11.III:
Si P es laguna, para cualquier circunferencia de centro en P:
∮D F = constante
Teorema 3.11.IV:
Para curvas de Green (dentro de una circunferencia).
Si cumple con 3.8.13 y es C¹, antihorario:
∮C1 F = ∮C2 F
∮C1 F + ∮C2 F = ∫∂D F
Teorema 3.11.V:
Para curvas de Green (dentro de una circunferencia).
Si cumple con 3.8.13 y es C¹, antihorario:
∫C F = p
p: período del campo F relativo a la laguna P.
Teorema 3.11.VI:
Si p es cero el campo es conservativo (P = laguna)
Integrales curvilíneas de funciones
| ∫C f(x)·ds = ∫ | b | f(C(t))·||C'||·dt |
| a |
Centro de masa o baricentro:
Suponiendo δ (x, y, z) = constante:
| xG = | ∫C x·ds |
| ∫C ds | |
| yG = | ∫C y·ds |
| ∫C ds | |
| zG = | ∫C z·ds |
| ∫C ds | |
Si δ (x, y, z) no es constante se incorpora bajo el símbolo de integral en numerador y denominador.
Teorema de la divergencia en el plano (Gauss)
Para:
F = (Q, P)
C(t) = (x(t), y(t))
Siendo:
n = [y'(t), -x'(t)]/||C'(t)||
div F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y
El Teorema de la divergencia es:
∬D divF·dx·dy = ∮∂D F·n·ds
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
¿Qué es un campo vectorial? ¿Qué es la divergencia de un vector?