Problema nº 1, integración de ecuaciones diferenciales - TP01

Enunciado del ejercicio nº 1

y" - 2·y' - 3·y = e⁻ˣ/2

Cálculo de las raíces:

λ² -2·λ - 3 = 0

λ_1,2 =	-(-2) ± √(-2)² - 4·1·(-3)
	2·1

λ_1,2 =	2 ± √4 + 12
	2

λ_1,2 =	2 ± √16
	2

λ_1,2 =	2 ± 4
	2

λ₁ = (2 + 4)/2 ⇒ λ₁ = 6/2 λ₁ = 3

λ₂ = (2 - 4)/2 ⇒ λ₁ = -2/2 λ₁ = -1

La integral homogénea es:

y* = c₁·e³˙ˣ + c₂·e⁻¹˙ˣ

Cálculo de la integral particular:

y = a·x⁵·e⁻ˣ

Como:

s = 1

y = a·x·e⁻ˣ

Sus derivadas son:

y' = a·e⁻ˣ - a·x·e⁻ˣ

y" = -a·e⁻ˣ - (a·e⁻ˣ - a·x·e⁻ˣ)

y" = -a·e⁻ˣ - a·e⁻ˣ + a·x·e⁻ˣ

y" = -2·a·e⁻ˣ + a·x·e⁻ˣ

Debe verificar:

(-2·a·e⁻ˣ + a·x·e⁻ˣ) - 2·(a·e⁻ˣ - a·x·e⁻ˣ) - 3·(a·x·e⁻ˣ) = e⁻ˣ/2

-2·a·e⁻ˣ + a·x·e⁻ˣ - 2·a·e⁻ˣ + 2·a·x·e⁻ˣ - 3·a·x·e⁻ˣ = e⁻ˣ/2

-2·a·e⁻ˣ - 2·a·e⁻ˣ + a·x·e⁻ˣ + 2·a·x·e⁻ˣ - 3·a·x·e⁻ˣ = e⁻ˣ/2

-4·a·e⁻ˣ = e⁻ˣ/2

-4·a = ½

a = -⅛

La integral particular es:

y = -x·e⁻ˣ/8

Luego la integral general es:

y = y* + y

y* = C₁·e³˙ˣ + C₂·e⁻¹˙ˣ - x·e⁻ˣ/8

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo de integración de ecuaciones diferenciales