Problema nº 18, integración de ecuaciones diferenciales
Enunciado del ejercicio nº 18
y" + √3·y = x²; y(0) = 0; y'(0) = 1
Cálculo de las raíces:
λ² + √3 = 0
λ² = -√3
λ = ±√-√3
λ = ±√i²·√3
λ1,2 = ±i·∜3
La integral homogénea es:
y* = C₁·cos ∜3·x + C₂·sen ∜3·x
Cálculo de la integral particular:
y = a·x² + b·x + c
Sus derivadas son:
y' = 2·a·x + b
y" = 2·a
Debe verificar:
y" + √3·y = x²
2·a + √3·(a·x² + b·x + c) = x²
La integral particular es:
2·a + √3·a·x² + √3·b·x + √3·c = x²
√3·a·x² + √3·b·x + 2·a + √3·c = x²
√3·a = 1 ⇒ a = 1/√3
√3·b = 0 ⇒ b = 0
2·a + √3·c = 0 ⇒ 2·(1/√3) + √3·c = 0 ⇒ √3·c = -2/√3 ⇒ c = -⅔
y = (√3/3)·x² - ⅔
Luego la integral general es:
yₚ = y* + y
yₚ = C₁·cos ∜3·x + C₂·sen ∜3·x + (√3/3)·x² - ⅔
Para el punto dado:
yₚ = C₁·cos ∜3·x + C₂·sen ∜3·x + (√3/3)·x² - ⅔
y'ₚ = -∜3·C₁·sen ∜3·x + ∜3·C₂·cos ∜3·x + (2·√3/3)·x
yₚ(0) = C₁·cos 0 + C₂·sen 0 - ⅔
yₚ(0) = C₁ - ⅔
y'ₚ(0) = -∜3·C₁·sen 0 + ∜3·C₂·cos 0
y'ₚ(0) = ∜3·C₂
Luego:
yₚ(0) = C₁ - ⅔ = 0 ⇒C₁ = ⅔
y'ₚ(0) = ∜3·C₂ = 1 ⇒ C₂ = 1/∜3
yₚ = ⅔·cos ∜3·x + (1/∜3)·sen ∜3·x + (√3/3)·x² - ⅔
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo de integración de ecuaciones diferenciales