Problema nº 21, integración de ecuaciones diferenciales
Enunciado del ejercicio nº 21
y" - y = 2·x³ + e⁻ˣ + 1
Cálculo de las raíces:
λ² - 1 = 0
λ² = 1
λ1,2 = ±1
La integral homogénea es:
y* = c₁·e⁻³˙ˣ + c₂·eˣ
Cálculo de la integral particular:
y₁ = a·x³ + b·x² + c·x + d
y₂ = c₃·x·e⁻ˣ
Sus derivadas son:
y'₁ = 3·a·x² + 2·b·x + c
y"₁ = 6·a·x + 2·b
y'₂ = c₃·e⁻ˣ - c₃·x·e⁻ˣ
y"₂ = -2·c₃·e⁻ˣ + c₃·x·e⁻ˣ
Debe verificar:
y"₁ + y₁ = 2·x³ + 1
6·a·x + 2·b - (a·x³ + b·x² + c·x + d) = 2·x³ + 1
6·a·x + 2·b - a·x³ - b·x² - c·x - d = 2·x³ + 1
-a·x³ - b·x² + 6·a·x - c·x + 2·b - d = 2·x³ + 1
-a·x³ - b·x² + (6·a - c)·x + 2·b - d = 2·x³ + 1
-a = 2
a = -2
-b = 0
b = 0
6·a - c = 0
6·a = c
6·(-2) = c
c = -12
2·b - d = 1
2·0 - d = 1
-d = 1
d = -1
y"₂ + y₂ = e⁻ˣ
-2·C₃·e⁻ˣ + C₃·x·e⁻ˣ - C₃·x·e⁻ˣ = e⁻ˣ
-2·C₃·e⁻ˣ = e⁻ˣ
-2·C₃ = 1
C₃ = -½
La integral particular es:
y₁ = -2·x³ - 12·x - 1
y₂ = x·e⁻ˣ/2
Luego la integral general es:
yₚ = y* + y₁ + y₂ = C₁·e⁻ˣ + C₂·eˣ - 2·x³ - 12·x - 1 - x·e⁻ˣ/2
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo de integración de ecuaciones diferenciales