Problema nº 27, integración de ecuaciones diferenciales

Enunciado del ejercicio nº 27

y" + 16·y = sen x·cos x

Cálculo de las raíces:

λ² + 16 = 0

λ² = -16

λ = √-16

λ = √i²·16

λ₁ = 4·i

λ₂ = -4·i

La integral homogénea es:

y* = C₁·cos 4·x + C₂·sen 4·x

Cálculo de la integral particular:

y" + 16·y = sen x·cos x = 2·(sen x·cos x)/2 = (sen 2·x)/2

y = a·sen 2·x + b·cos 2·x

Sus derivadas son:

y' = 2·a·cos 2·x - 2·b·sen 2·x

y" = -4·a·sen 2·x - 4·b·cos 2·x

Debe verificar:

y" + 16·y = (sen 2·x)/2

-4·a·sen 2·x - 4·b·cos 2·x + 16·a·sen 2·x + 16·b·cos 2·x = (sen 2·x)/2

12·a·sen 2·x + 12·b·cos 2·x = (sen 2·x)/2

24·a·sen 2·x + 24·b·cos 2·x = sen 2·x

24·a = 1

a = 1/24

24·b = 0

b = 0

La integral particular es:

y = sen x/24

Luego la integral general es:

yₚ = y* + y = C₁·cos 4·x + C₂·sen 4·x + (sen x)/24

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo de integración de ecuaciones diferenciales