Método de resolución de ecuaciones

Normas generalísimas para efectuar, como Dios manda, las ecuaciones

Enrique Pascual Orellana.

Veamos primero algunos conceptos útiles:

• Una ecuación es una igualdad. Lo que tenemos que hallar es el valor de la incógnita -puede estar representada por la letra x o por otra cualquiera- para que se cumpla esa igualdad. Por lo tanto es imprescindible que exista el símbolo "="
• En la ecuación tenemos que hacer las operaciones necesarias para mantener siempre la igualdad original, no podemos, por comodidad, no hacer caso de alguno de los pasos
• Cuando ponemos 3·x significa "tres veces el valor de la "incógnita" o sea "3 por x". No pierdas de vista que si ponemos sólo x significa, como es lógico "1 por x"
• Las operaciones están indicadas por los signos de sumar, restar, multiplicar o dividir. Ya sabes que siempre hay que empezar haciendo las multiplicaciones o las divisiones antes que las sumas o las restas
• Los términos de la ecuación van siempre separados por los signos "+" ó "-". Irán variando su número según las operaciones que hagamos

Vamos a empezar. No hay nada mejor que tomar una de las ecuaciones que te resulten más complicadas. Así verás que es muy fácil.

Resolver:

1° paso: Efectuar las operaciones indicadas

• Las únicas operaciones que podemos hacer son los productos indicados en los numeradores de las fracciones. Ten en cuenta que en esta ecuación hay 6 términos
• En el primer término de esta ecuación el 3 multiplica a todo el paréntesis, por lo que tendremos que aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma. Y lo mismo haremos con el primer término del segundo miembro de la igualdad

Quedará:

2° paso: Quitar denominadores (si los hay)

1) Si hay algún término que no tenga denominador se sitúa el denominador 1

2) Se halla el mínimo común múltiplo de los denominadores

• Si se tiene vista se pone

• Si se es miope:

∘ Se descomponen los denominadores en factores primos

∘ Se toman los factores comunes y no comunes afectados con el mayor exponente

3) Se ponen tantas rayitas de fracción como tengamos en el paso 2° - 1 y se coloca como denominador el mínimo común múltiplo hallado en el apartado anterior

4) Se multiplica cada numerador por el mismo número que el que hemos tenido que multiplicar su denominador para encontrar el denominador común. Es conveniente dejar las multiplicaciones indicadas

5) Se quitan los denominadores

Veámoslo paso por paso:

Paso 2° - 1.

A que no es difícil

Paso 2° - 2.

Hallar el mcm de 2, 4, 6 y 12 … como supongo que no eres miope verás que es 12

Paso 2° - 3.

Poner rayitas.

Paso 2° - 4.

Fíjate bien en este paso: para que la primera fracción sea igual que la de arriba te das cuenta que el denominador ha pasado de ser 2 a ser 12. O sea que lo hemos multiplicado por 6. Para que la fracción que escribas sea la misma que la de arriba has de multiplicar el numerador por el mismo numerito que en el denominador … recuerda que para que una fracción no varía si se multiplica por el mismo número arriba -el numerador- y abajo -el denominador-.

Como ves en las dos partes de la igualdad tenemos todo dividido por un mismo número.

Aplicamos la propiedad uniforme de la multiplicación que dice que si a las dos partes de una igualdad se le multiplica por un mismo número la igualdad no varía,

¿Qué te parece si multiplicamos ahora todo por 12? … se irán los denominadores …

Por supuesto que en cada ecuación el denominador será distinto … por lo que en realidad no tendremos nunca que multiplicar por ese dichoso numerito … bastará quitar el denominador.

Por lo que quedará:

6·(15·x - 24) - 3·(8 - 5·x) - 12·x = 2·(2·x - 8) - 12 + (x - 7)

Como ves hemos eliminado el 1 que multiplicaba al último paréntesis. Ya sabes que todo multiplicado por 1 queda lo mismo … pero fíjate que hemos mantenido el paréntesis.

3° paso: Quitar paréntesis (si los hay)

1) Se efectúan las operaciones indicadas.
Los resultados se mantienen entre paréntesis

2) Se quitan los paréntesis teniendo en cuenta si van precedidos del signo "+" o del signo "-"

• Si van precedidos del signo "+": se quitan los paréntesis y ya está

• Si van precedidos del signo "-": se cambian todos los signos de dentro del paréntesis

▫ El orden para quitar paréntesis es, si los hay:

1°·(…)

2°·[…]

3°·{…}

Veámoslo por pasos:

Paso 3° - 1.

Tenemos que volver a aplicar la propiedad distributiva:

(90·x - 144) - (24 - 15·x) - 12·x = (4·x - 16) - 12 + (x - 7)

Paso 3° - 2.

Todo el mundo se equivoca aquí.

Fíjate: si tienes un paréntesis con un signo + delante significará que todo eso que está dentro se tiene que añadir; y si lleva signo - se deberá quitar. ¿Has pensado que si tienes - 9 pesetas en realidad debes 9 pesetas? ¿Qué pasa si te quitan la deuda de 9 pesetas? … pues que has ganado 9 pesetas … En matemáticas esto último se escribe así -(-9·x) = + 9·x

El primer paréntesis y el que está a la derecha del signo = no llevan signo. ¿Qué hacer? No te preocupes: en el lenguaje matemático si no llevan delante ningún signo se supone que llevan el +.

Pero ¿y dentro del paréntesis? ¿qué signo tienen el 90·x del primer paréntesis o el 24 del segundo? … pues aplicamos lo de antes: llevan signo +. Ten en cuenta que los signos que van delante de los paréntesis afectan sólo al paréntesis y no a los primeros términos que están dentro de ellos.

Por lo que queda:

90·x - 144 - 24 + 15·x - 12·x = 4·x - 16 - 12 + x - 7

4° paso: Transposición de términos semejantes

• Se ponen a un lado del signo igual (=) todos los términos que tenga incógnita (x), y al otro lado todos los términos independientes (que no tengan incógnita)
• Nótese que si un término cambia de lateralidad cambia de signo

Vamos a aplicar ahora la propiedad uniforme de la suma que dice que si a los dos miembros de una igualdad se le suma o se le resta un mismo número la igualdad no varía.

90·x - 15·x - 12·x - 4·x - x = 144 + 24 - 16 - 12 - 7

5° paso: Reducción de términos semejantes

• Si se tiene la suficiente habilidad se efectúan las operaciones indicadas a cada lado del signo "="

• Si no se está seguro (caso de lo más frecuente), a cada lado del signo igual se opera de la siguiente forma:

∘ Sumamos todos los términos precedidos de "+"

∘ Sumamos todos los términos precedidos de "-"

∘ Restamos como podamos las dos sumas anteriores

∘ Ponemos delante el signo de la suma de mayor valor absoluto

∘ Hacemos votos para no equivocarnos en esta tontería

En realidad lo que volver a aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación al revés, es decir, sacamos factor común …

88·x = 133

Deberíamos haber hecho:

x·(90 + 15 - 12 - 4 - 1) = 144 + 24 - 16 - 12 - 7

… pero es un peñazo … mejor hacerlo directamente ¿no crees?

6° paso: Despejamos la incógnita

• Despejar la incógnita consiste en dejarla sola y con signo "+"

▫ Para ello: el número que acompaña a la incógnita lo pasamos dividiendo (como denominador) a la otra parte del signo "="

• Se reduce al máximo la fracción resultante

• Se pone una vela a un Santo de vuestra devoción para suplicar no haberse equivocado

• Se convence uno que lo mejor es seguir el refrán "A Dios rogando y con el mazo dando", lo cual quiere decir que hay que hacer 25.308 ecuaciones por lo menos para conseguir una perfecta maña

x = 133/88

Y un detalle: cuando te encuentres con otra ecuación más sencilla que la que hemos resuelto sólo tienes que empezar en el paso en el que el ejemplo sea parecida a la tuya …

Autor: Enrique Pascual Orellana. España.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).

Ejemplos de cómo resolver ecuaciones paso a paso.