Problema nº 4 de ecuaciones de segundo grado, generar ecuaciones cuadráticas partiendo de sus raíces - TP01

Enunciado del ejercicio nº 4

Obtener las ecuaciones cuyas raíces son:

a) x₁ = ⅓ ∧ x₂ = -3/2

b) x₁ = -½ + 2·i ∧ x₂ = -½ - 2·i

c) x₁ = 0 ∧ x₂ = -4/3

Solución

x₁ = ⅓ ∧ x₂ = -3/2

Armamos la ecuación en forma de producto de binomios:

y = (x - x₁)·(x - x₂)

Reemplazamos por las raíces cuidando los signos:

y = (x -	1	)·[x - (-	3	)]
	3		2

Desarrollamos el producto:

y = (x -	1	)·(x +	3	)
	3		2

y =	3·x - 1	·	2·x + 3
	3		2

y =	(3·x - 1)·(2·x + 3)
	3·2

y =	3·x·2·x + 3·x·3 - 1·2·x - 1·3
	6

y =	6·x² + 9·x - 2·x - 3
	6

y =	6·x² + 7·x - 3
	6

Distribuimos el denominador:

y =	6·x²	+	7·x	-	3
	6		6		6

Simplificamos:

y = x² +	7·x	-	1
	6		3

Expresamos el resultado:

y = x² +	7·x	-	1
	6		3

x₁ = -½ + 2·i ∧ x₂ = -½ - 2·i

En este caso tenemos raíces complejas. Armamos la ecuación en forma de producto de binomios:

y = (x - x₁)·(x - x₂)

Reemplazamos por las raíces cuidando los signos:

y = [x - (-½ + 2·i)]·[x - (-½ - 2·i)]

Desarrollamos el producto:

y = (x + ½ - 2·i)·(x + ½ + 2·i)

y =	2·x + 1 - 2·2·i	·	2·x + 1 + 2·2·i
	2		2

y =	2·x + 1 - 4·i	·	2·x + 1 + 4·i
	2		2

Agrupamos para aplicar diferencia de cuadrados:

y =	[(2·x + 1) - 4·i]·[(2·x + 1) + 4·i]
	2·2

y =	(2·x + 1)² - (4·i)²
	4

De esta forma eliminamos fácilmente la parte imaginaria del complejo.

y =	4·x² + 4·x + 1 - 16·i²
	4

i² = -1

y =	4·x² + 4·x + 1 - 16·(-1)
	4

y =	4·x² + 4·x + 1 + 16
	4

y =	4·x² + 4·x + 17
	4

Distribuimos el denominador:

y =	4·x²	+	4·x	+	17
	4		4		4

Simplificamos:

y = x² + x +	17
	4

Expresamos el resultado:

y = x² + x +	17
	4

x₁ = 0 ∧ x₂ = -4/3

Armamos la ecuación en forma de producto de binomios:

y = (x - x₁)·(x - x₂)

Reemplazamos por las raíces cuidando los signos:

y = (x - 0)·[x - (-	4	)]
	3

Desarrollamos el producto:

y = x·(x +	4	)
	3

y = x·	3·x + 4
	3

y =	3·x² + 4·x
	3

Distribuimos el denominador:

y =	3·x²	+	4·x
	3		3

Simplificamos:

y = x² +	4·x
	3

Expresamos el resultado:

y = x² +	4·x
	3

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo generar ecuaciones cuadraticas partiendo de sus raíces