Problema nº 1-f de ecuaciones de cuarto grado, raíces en ecuaciones bicuadradas - TP04

Enunciado del ejercicio nº 1-f

Hallar las raíces. ¿Para qué valores de "x" la ecuación es igual a cero?

(x² - 1)² + 3 = 4·(x + 1)·(x - 1)

Desarrollo

Fórmulas:

Ecuación de Báscara o Bhaskara:

Solución

(x² - 1)² + 3 = 4·(x + 1)·(x - 1)

Desarrollamos el binomio al cuadrado y la diferencia de cuadrados:

x⁴ - 2·x² + 1 + 3 = 4·(x² - 1)

x⁴ - 2·x² + 4 = 4·x² - 4

Igualamos a cero:

x⁴ - 2·x² + 4 - 4·x² + 4 = 0

Expresamos la ecuación en forma implícita y ordenada.

x⁴ - 6·x² + 8 = 0

Realizamos un cambio de variable:

v = x²

v² - 6·v + 8 = 0

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

Siendo:

a = 1

b = -6

c = 8

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

v_1,2 = 3 ± 1

Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:

v₁ = 3 + 1

v₁ = 4

v₂ = 3 - 1

v₂ = 2

Hacemos el cambio de variable inversa, obtendremos 4 valores:

v₁ = x_1,2² = 4

v₂ = x_3,4² = 2

x_1,2² = 4

x_1,2 = ±√4

x_3,4² = 2

x_3,4 = ±√2

Resultado, las raíces son:

x₁ = 2

x₂ = -2

x₃ = √2

x₄ = -√2

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

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Ejemplo, cómo hallar las raíces en ecuaciones bicuadradas