Problema nº 1-g de ecuaciones de cuarto grado, raíces en ecuaciones bicuadradas - TP04
Enunciado del ejercicio nº 1-g
Hallar las raíces. ¿Para qué valores de "x" la ecuación es igual a cero?
| 1 | + | 9 | = | 2 |
| 5·x⁴ | 5 | x² |
Desarrollo
Fórmulas:
Ecuación de Báscara o Bhaskara:
| x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Solución
| 1 | + | 9 | = | 2 |
| 5·x⁴ | 5 | x² |
Igualamos a cero:
| 1 | + | 9 | - | 2 | = 0 |
| 5·x⁴ | 5 | x² |
Sumamos las fracciones, el denominador común será "5·x⁴":
| 1 + 9·x⁴ - 2·5·x² | = 0 |
| 5·x⁴ |
Pasmos el denominador del otro lado del signo "=" multiplicando:
1 + 9·x⁴ - 10·x² = 0·5·x⁴
1 + 9·x⁴ - 10·x² = 0
Expresamos la ecuación en forma implícita y ordenada.
9·x⁴ - 10·x² + 1 = 0
Realizamos un cambio de variable:
v = x²
9·v² - 10·v + 1 = 0
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
| v1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Siendo:
a = 9
b = -10
c = 1
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| v1,2 = | -(-10) ± √(-10)² - 4·9·1 |
| 2·9 |
| v1,2 = | 10 ± √100 - 36 |
| 18 |
| v1,2 = | 10 ± √64 |
| 18 |
| v1,2 = | 10 ± 8 |
| 18 |
| v1,2 = | 5 ± 4 |
| 9 |
Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:
| v₁ = | 5 + 4 |
| 9 |
| v₁ = | 9 |
| 9 |
v₁ = 1
| v₂ = | 5 - 4 |
| 9 |
| v₂ = | 1 |
| 9 |
Hacemos el cambio de variable inversa, obtendremos 4 valores:
v₁ = x1,2² = 1
| v₂ = x3,4² = | 1 |
| 9 |
x1,2² = 1
x1,2 = ±√1
x1,2 = ±1
| x3,4² = | 1 |
| 9 |
x3,4 = ±√⅑
Resultado, las raíces son:
x₁ = 1
x₂ = -1
x₃ = ⅓
x₄ = -⅓
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo hallar las raíces en ecuaciones bicuadradas