Problema nº 1-h de ecuaciones de cuarto grado, raíces en ecuaciones bicuadradas - TP04

Enunciado del ejercicio nº 1-h

Hallar las raíces. ¿Para qué valores de "x" la ecuación es igual a cero?

x² + 16 +	1 + x²	=	2	+ 11
	2		x²

Ecuación de Báscara o Bhaskara:

x_1,2 =	-b ± √b² - 4·a·c
	2·a

x² + 16 +	1 + x²	=	2	+ 11
	2		x²

Igualamos a cero:

x² + 16 +	1 + x²	-	2	- 11 = 0
	2		x²

x² +	1 + x²	-	2	+ 6 = 0
	2		x²

Sumamos las fracciones, el denominador común será "2·x²":

x²·2·x² + x²·(1 + x²) - 2·2 + 6·2·x²	= 0
2·x²

Pasmos el denominador del otro lado del signo "=" multiplicando:

2·x⁴ + x² + x⁴ - 4 + 12·x² = 0·2·x²

Expresamos la ecuación en forma implícita y ordenada.

3·x⁴ + 13·x² - 4 = 0

Realizamos un cambio de variable:

v = x²

3·v² + 13·v - 4 = 0

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

v_1,2 =	-b ± √b² - 4·a·c
	2·a

Siendo:

a = 3

b = 13

c = -4

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

v_1,2 =	-13 ± √13² - 4·3·(-4)
	2·3

v_1,2 =	-13 ± √169 + 48
	6

v_1,2 =	-13 ± √217
	6

Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:

v₁ =	-13 + √217
	6

v₂ =	-13 - √217
	6

Hacemos el cambio de variable inversa, obtendremos 4 valores:

v₁ = x_1,2² =	-13 + √217
	6

v₂ = x_3,4² =	-13 - √217
	6

x_1,2² =	-13 + √217
	6

Raíces

x_3,4² =	-13 - √217
	6

x_3,4 ⇒ -13 - √217 < 0 ⇒ ∉ ℜ

Resultado, las raíces son:

Raíces

x_3,4 ∉ ℜ

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo hallar las raíces en ecuaciones bicuadradas