Problema nº 2-f de ecuaciones de segundo grado o cuadráticas, raíces - TP04

Enunciado del ejercicio nº 2-f

¿Para qué valores de "x" la ecuación es igual a cero?

√x² - 3·x + 4 + √x² - 3·x + 1 = 3

Solución

Para resolver ecuaciones que tienen incógnitas bajo el signo radical se procede eliminando los radicales de forma de expresar dicha ecuación como un polinomio.

√x² - 3·x + 4 + √x² - 3·x + 1 = 3

Elevamos al cuadrado ambos términos:

(√x² - 3·x + 4 + √x² - 3·x + 1)² = 3²

Resolvemos:

(√x² - 3·x + 4)² + 2·√x² - 3·x + 4·√x² - 3·x + 1 + (√x² - 3·x + 1)² = 9

x² - 3·x + 4 + 2·√(x² - 3·x + 4)·(x² - 3·x + 1) + x² - 3·x + 1 = 9

2·√(x² - 3·x + 4)·(x² - 3·x + 1) = -2·x² + 6·x - 5 + 9

2·√(x² - 3·x + 4)·(x² - 3·x + 1) = -2·x² + 6·x + 4

Extraemos factor común "2" y simplificamos:

2·√(x² - 3·x + 4)·(x² - 3·x + 1) = 2·(-x² + 3·x + 2)

√(x² - 3·x + 4)·(x² - 3·x + 1) = -x² + 3·x + 2

Elevamos al cuadrado ambos términos para eliminar la raíz:

[√(x² - 3·x + 4)·(x² - 3·x + 1)]² = (-x² + 3·x + 2)²

Resolvemos:

(x² - 3·x + 4)·(x² - 3·x + 1) = x⁴ - 3·x³ - 2·x² - 3·x³ + 9·x² + 6·x - 2·x² + 6·x + 4

x⁴ - 3·x³ + x² - 3·x³ + 9·x² - 3·x + 4·x² - 12·x + 4 = x⁴ - 6·x³ + 5·x² + 12·x + 4

x⁴ - 6·x³ + 14·x² - 15·x + 4 = x⁴ - 6·x³ + 5·x² + 12·x + 4

Igualamos a cero:

x⁴ - 6·x³ + 14·x² - 15·x + 4 - x⁴ + 6·x³ - 5·x² - 12·x - 4

Sumamos los monomios de igual grado:

9·x² - 27·x = 0

Extraemos factor común "9·x":

9·x·(x - 3) = 0

x·(x - 3) = 0

Para que la ecuación sea igual a cero se debe cumplir:

x = 0 ∧ x - 3 = 0

Por lo tanto:

x₁ = 0

x - 3 = 0 ⇒ x = 3

x₂ = 3

Resultado, las raíces son:

x₁ = 0

x₂ = 3

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo hallar las raíces en ecuaciones cuadráticas