Problema nº 3-e, generar ecuaciones de cuarto grado dadas las raíces - TP04

Enunciado del ejercicio nº 3-e

Obtener la ecuación cuyas raíces son:

x₁ = -x₂ = 0,2 ∧ x₃ = -x₄ = -0,5·i

Solución

Dadas las raíces la ecuación se obtiene planteando el producto de binomios de primer grado, este producto se iguala a cero, un binomio por cada raíz, luego se desarrollan los productos.

x₁ = -x₂ = 0,2 ∧ x₃ = -x₄ = -0,5·i

Planteamos el producto, 4 binomios:

(x - x₁)·(x - x₂)·(x - x₃)·(x - x₄) = 0

Reemplazamos por las raíces:

(x - 0,2)·[x - (-0,2)]·[x - (-0,5·i)]·{x - [-(-0,5·i)]} = 0

Resolvemos:

(x - 0,2)·(x + 0,2)·(x + 0,5·i)·(x - 0,5·i) = 0

Aplicamos la inversa de la diferencia de cuadrados:

(x² - 0,2²)·[x² - (0,5·i)²] = 0

(x² - 0,04)·(x² - 0,25·i²) = 0

i² = -1

(x² - 0,04)·[x² - 0,25·(-1)] = 0

(x² - 0,04)·(x² + 0,25) = 0

Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma y a la resta:

x⁴ + 0,25·x² - 0,04·x² - 0,01 = 0

Sumamos los monomios de igual grado:

x⁴ + 0,21·x² - 0,01 = 0

Resultado, la ecuación es:

x⁴ + 0,21·x² - 0,01 = 0

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo hallar ecuaciones dadas las raíces