Problema nº 3, hallar ecuaciones dadas las raíces - TP16

Enunciado del ejercicio nº 3

Proporcionar una ecuación entera cuyas raíces sean:

a) x₁ = 2 ∧ x₂ = 3

b) x₁ = ½; x₂ = -1 ∧ x₃ = 2

c) x₁ = ⅔; x₂ = 0 ∧ x₃ = 1 (doble)

d) x₁ = -1; x₂ = -½; x₃ = 0 (doble) ∧ x₄ = 2 (triple)

Dadas las raíces la ecuación se obtiene planteando el producto de binomios de primer grado, este producto se iguala a cero, un binomio por cada raíz, luego se desarrollan los productos.

Solución

x₁ = 2 ∧ x₂ = 3

Planteamos el producto, dos binomios:

(x - x₁)·(x - x₂) = 0

Reemplazamos por las raíces:

(x - 2)·(x - 3) = 0

x₁ = ½; x₂ = -1 ∧ x₃ = 2

Planteamos el producto, tres binomios:

(x - x₁)·(x - x₂)·(x - x₃) = 0

Reemplazamos por las raíces:

(x - ½)·[x - (-1)]·(x - 2) = 0

(x - ½)·(x + 1)·(x - 2) = 0

x₁ = ⅔; x₂ = 0 ∧ x₃ = 1 (doble)

Planteamos el producto, cuatro binomios (uno doble):

(x - x₁)·(x - x₂)·(x - x₃)·(x - x₃) = 0

Reemplazamos por las raíces:

(x - ⅔)·(x - 0)·(x - 1)·(x - 1) = 0

x·(x - ⅔)·(x - 1)² = 0

x₁ = -1; x₂ = -½; x₃ = 0 (doble) ∧ x₄ = 2 (triple)

Planteamos el producto, cinco binomios (uno doble y uno triple):

(x - x₁)·(x - x₂)·(x - x₃)·(x - x₃)·(x - x₄)·(x - x₄)·(x - x₄) = 0

Reemplazamos por las raíces:

[x - (-1)]·[x - (-½)]·(x - 0)·(x - 0)·(x - 2)·(x - 2)·(x - 2) = 0

(x + 1)·(x + ½)·x·x·(x - 2)³ = 0

x²·(x + 1)·(x + ½)·(x - 2)³ = 0

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo hallar ecuaciones dadas las raíces