Problema nº 1-a y 1-b, hallar las raíces en ecuaciones fraccionarias de segundo grado - TP17
Enunciado del ejercicio nº 1-a y 1-b
Resolver las siguientes ecuaciones fraccionarias de segundo grado:
| a) | x + 2 | = | 3·x - 4 |
| x - 3 | x + 2 |
| b) | 2·x - 2 | = | x + 2 |
| x - 3 | x - 4 |
Solución
a)
| x + 2 | = | 3·x - 4 |
| x - 3 | x + 2 |
Igualamos a cero:
| x + 2 | - | 3·x - 4 | = 0 |
| x - 3 | x + 2 |
Sumamos las fracciones, el denominador común será "(x - 3)·(x + 2)":
| (x + 2)·(x + 2) - (3·x - 4)·(x - 3) | = 0 |
| (x - 3)·(x + 2) |
Multiplicamos ambos miembros por el denominador "(x - 3)·(x + 2)" y, luego, cancelamos:
(x + 2)² - (3·x - 4)·(x - 3) = 0
Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la resta:
x² + 4·x + 4 - (3·x² - 4·x - 9·x + 12) = 0
x² + 4·x + 4 - 3·x² + 4·x + 9·x - 12 = 0
Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":
x² - 3·x² + 4·x + 4·x + 9·x + 4 - 12 = 0
-2·x² + 17·x - 8 = 0
Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
| x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Siendo:
a = -2
b = 17
c = -8
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| x1,2 = | -17 ± √17² - 4·(-2)·(-8) |
| 2·(-2) |
| x1,2 = | -17 ± √289 - 64 |
| -4 |
| x1,2 = | -17 ± √225 |
| -4 |
| x1,2 = | -17 ± 15 |
| -4 |
Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:
| x₁ = | -17 + 15 |
| -4 |
| x₁ = | -2 |
| -4 |
| x₁ = | 1 |
| 2 |
| x₂ = | -17 - 15 |
| -4 |
| x₂ = | -32 |
| -4 |
x₂ = 8
Expresamos el resultado.
La ecuación expresada en forma implícita es:
-2·x² + 17·x - 8 = 0
Las raíces son:
x₁ = ½
x₂ = 8
b)
| 2·x - 2 | + | x + 2 |
| x - 3 | x - 4 |
Igualamos a cero:
| 2·x - 2 | - | x + 2 | = 0 |
| x - 3 | x - 4 |
Restamos las fracciones, el denominador común será "(x - 3)·(x - 4)":
| (2·x - 2)·(x - 4) - (x + 2)·(x - 3) | = 0 |
| (x - 3)·(x - 4) |
Multiplicamos ambos miembros por el denominador "(x - 3)·(x - 4)" y, luego, cancelamos:
(2·x - 2)·(x - 4) - (x + 2)·(x - 3) = 0
Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la resta:
2·x² - 2·x - 8·x + 8 - (x² + 2·x - 3·x - 6) = 0
2·x² - 2·x - 8·x + 8 - x² - 2·x + 3·x + 6 = 0
Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":
2·x² - x² - 2·x - 8·x - 2·x + 3·x + 8 + 6 = 0
x² - 9·x + 14 = 0
Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
| x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Siendo:
a = 1
b = -9
c = 14
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| x1,2 = | -(-9) ± √(-9)² - 4·1·14 |
| 2·1 |
| x1,2 = | 9 ± √81 - 56 |
| 2 |
| x1,2 = | 9 ± √25 |
| 2 |
| x1,2 = | 9 ± 5 |
| 2 |
Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:
| x₁ = | 9 + 5 |
| 2 |
| x₁ = | 14 |
| 2 |
x₁ = 7
| x₂ = | 9 - 5 |
| 2 |
| x₂ = | 4 |
| 2 |
x₂ = 2
Expresamos el resultado.
La ecuación expresada en forma implícita es:
x² - 9·x + 14 = 0
Las raíces son:
x₁ = 7
x₂ = 2
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo hallar las raíces en ecuaciones fraccionarias de segundo grado