Problema nº 1-c y 1-d, hallar las raíces en ecuaciones fraccionarias de segundo grado - TP17
Enunciado del ejercicio nº 1-c y 1-d
Resolver las siguientes ecuaciones fraccionarias de segundo grado:
| c) | x + 1 | + | x - 3 | = | 5 |
| x + 3 | x - 1 | 4 |
| d) | x + 1 | + | 3·x | = | 1 |
| (x + 2)² | x + 2 | 4 |
Solución
c)
| x + 1 | + | x - 3 | = | 5 |
| x + 3 | x - 1 | 4 |
Igualamos a cero:
| x + 1 | + | x - 3 | - | 5 | = 0 |
| x + 3 | x - 1 | 4 |
Sumamos las fracciones, el denominador común será "4·(x + 3)·(x - 1)":
| 4·(x + 1)·(x - 1) + 4·(x - 3)·(x + 3) - 5·(x + 3)·(x - 1) | = 0 |
| 4·(x + 3)·(x - 1) |
Multiplicamos ambos miembros por el denominador "4·(x + 3)·(x - 1)" y, luego, cancelamos:
4·(x + 1)·(x - 1) + 4·(x - 3)·(x + 3) - 5·(x + 3)·(x - 1) = 0
Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma y a la resta:
4·(x² - 1) + 4·(x² - 9) - 5·(x² + 3·x - x - 3) = 0
4·x² - 4 + 4·x² - 36 - 5·x² - 10·x + 15 = 0
Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":
4·x² + 4·x² - 5·x² - 10·x + 15 - 4 - 36 = 0
3·x² - 10·x - 25 = 0
Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
| x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Siendo:
a = 3
b = -10
c = -25
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| x1,2 = | -(-10) ± √(-10)² - 4·3·(-25) |
| 2·3 |
| x1,2 = | 10 ± √100 + 300 |
| 6 |
| x1,2 = | 10 ± √400 |
| 6 |
| x1,2 = | 10 ± 20 |
| 6 |
Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:
| x₁ = | 10 + 20 |
| 6 |
| x₁ = | 30 |
| 6 |
x₁ = 5
| x₂ = | 10 - 20 |
| 6 |
| x₂ = | -10 |
| 6 |
| x₂ = | -5 |
| 3 |
Expresamos el resultado.
La ecuación expresada en forma implícita es:
3·x² - 10·x - 25 = 0
Las raíces son:
x₁ = 5
| x₂ = | -5 |
| 3 |
d)
| x + 1 | + | 3·x | = | 1 |
| (x + 2)² | x + 2 | 4 |
Igualamos a cero:
| x + 1 | + | 3·x | - | 1 | = 0 |
| (x + 2)² | x + 2 | 4 |
Sumamos las fracciones, el denominador común será "4·(x + 2)²":
| 4·(x + 1) + 4·3·x·(x + 2) - (x + 2)² | = 0 |
| 4·(x + 2)² |
Multiplicamos ambos miembros por el denominador "4·(x + 2)²" y, luego, cancelamos:
4·(x + 1) + 12·x·(x + 2) - (x + 2)² = 0
Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma:
4·x + 4 + 12·x² + 24·x - (x² + 4·x + 4) = 0
4·x + 4 + 12·x² + 24·x - x² - 4·x - 4 = 0
Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":
12·x² - x² + 4·x + 24·x - 4·x + 4 - 4 = 0
11·x² + 24·x = 0
Extraemos factor común "x":
x·(11·x + 24) = 0
Para que la ecuación sea igual a cero se debe cumplir:
x = 0 ∧ 11·x + 24 = 0
11·x + 24 = 0
11·x = -24
| x = | -24 |
| 11 |
Expresamos el resultado.
La ecuación expresada en forma implícita es:
11·x² + 24·x = 0
Las raíces son:
x₁ = 0
| x₂ = | -24 |
| 11 |
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo hallar las raíces en ecuaciones fraccionarias de segundo grado