Problema nº 1-e y 1-f, hallar las raíces en ecuaciones fraccionarias de segundo grado - TP17
Enunciado del ejercicio nº 1-e y 1-f
Resolver las siguientes ecuaciones fraccionarias de segundo grado:
| e) ( | x + 1 | )² + | x + 1 | - 6 = 0 |
| x - 1 | x - 1 |
| f) | 5 | + | 4 | = 1 |
| x + 1 | x - 1 |
Solución
e)
| ( | x + 1 | )² + | x + 1 | - 6 = 0 |
| x - 1 | x - 1 |
Aplicamos la propiedad distributiva de la potencia con respecto a la división:
| (x + 1)² | + | x + 1 | - 6 = 0 |
| (x - 1)² | x - 1 |
Sumamos las fracciones, el denominador común será "(x - 1)²":
| (x + 1)² + (x + 1)·(x - 1) - 6·(x - 1)² | = 0 |
| (x - 1)² |
Multiplicamos ambos miembros por el denominador "(x - 1)²" y, luego, cancelamos:
(x + 1)² + (x + 1)·(x - 1) - 6·(x - 1)² = 0
Desarrollamos los binomios al cuadrado y aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma y a la resta:
x² + 2·x + 1 + x² - 1 - 6·(x² - 2·x + 1) = 0
x² + 2·x + 1 + x² - 1 - 6·x² + 12·x - 6 = 0
Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":
x² + x² - 6·x² + 2·x + 12·x + 1 - 1 - 6 = 0
-4·x² + 14·x - 6 = 0
Extraemos factor común "-2":
-2·(2·x² - 7·x + 3) = 0
2·x² - 7·x + 3 = 0
Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
| x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Siendo:
a = 2
b = -7
c = 3
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| x1,2 = | -(-7) ± √(-7)² - 4·2·3 |
| 2·2 |
| x1,2 = | 7 ± √49 - 24 |
| 4 |
| x1,2 = | 7 ± √25 |
| 4 |
| x1,2 = | 7 ± 5 |
| 4 |
Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:
| x₁ = | 7 + 5 |
| 4 |
| x₁ = | 12 |
| 4 |
x₁ = 3
| x₂ = | 7 - 5 |
| 4 |
| x₂ = | 2 |
| 4 |
x₂ = ½
Expresamos el resultado.
La ecuación expresada en forma implícita es:
2·x² - 7·x + 3 = 0
Las raíces son:
x₁ = 3
x₂ = ½
f)
| 5 | + | 4 | = 1 |
| x + 1 | x - 1 |
Igualamos a cero:
| 5 | + | 4 | - 1 = 0 |
| x + 1 | x - 1 |
Sumamos las fracciones, el denominador común será "(x + 1)·(x - 1)":
| 5·(x - 1) + 4·(x + 1) - (x + 1)·(x - 1) | = 0 |
| (x + 1)·(x - 1) |
Multiplicamos ambos miembros por el denominador "(x + 1)·(x - 1)" y, luego, cancelamos:
5·(x - 1) + 4·(x + 1) - (x + 1)·(x - 1) = 0
Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma y a la resta:
5·x - 5 + 4·x + 4 - (x² - 1) = 0
5·x - 5 + 4·x + 4 - x² + 1 = 0
Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":
-x² + 5·x + 4·x - 5 + 4 + 1 = 0
-x² + 9·x = 0
Extraemos factor común "x":
x·(-x + 9) = 0
Para que la ecuación sea igual a cero se debe cumplir:
x = 0 ∧ -x + 9 = 0
Resolvemos la segunda condición:
-x + 9 = 0
x = 9
Expresamos el resultado.
La ecuación expresada en forma implícita es:
-x² + 9·x = 0
Las raíces son:
x₁ = 0
x₂ = 9
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo hallar las raíces en ecuaciones fraccionarias de segundo grado