Problema nº 1-g y 1-h, hallar las raíces en ecuaciones fraccionarias de segundo grado - TP17
Enunciado del ejercicio nº 1-g y 1-h
Resolver las siguientes ecuaciones fraccionarias de segundo grado:
| g) | x² - 1 | + 5 = | 3 |
| x - 2 | x - 2 |
| h) | 3 | + | 2 | = | 1 |
| x - 2 | x - 3 | x - 4 |
Solución
g)
| x² - 1 | + 5 = | 3 |
| x - 2 | x - 2 |
Igualamos a cero:
| x² - 1 | + 5 - | 3 | = 0 |
| x - 2 | x - 2 |
Sumamos las fracciones, el denominador común será "x - 2":
| x² - 1 + 5·(x - 2) - 3 | = 0 |
| x - 2 |
Multiplicamos ambos miembros por el denominador "x - 2" y, luego, cancelamos:
x² - 1 + 5·(x - 2) - 3 = 0
Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la resta:
x² - 1 + 5·x - 10 - 3 = 0
Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":
x² + 5·x - 1 - 10 - 3 = 0
x² + 5·x - 14 = 0
Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
| x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Siendo:
a = 1
b = 5
c = -14
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| x1,2 = | -5 ± √5² - 4·1·(-14) |
| 2·1 |
| x1,2 = | -5 ± √25 + 56 |
| 2 |
| x1,2 = | -5 ± √81 |
| 2 |
| x1,2 = | -5 ± 9 |
| 2 |
Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:
| x₁ = | -5 + 9 |
| 2 |
| x₁ = | 4 |
| 2 |
x₁ = 2
| x₂ = | -5 - 9 |
| 2 |
| x₂ = | -14 |
| 2 |
x₂ = -7
Expresamos el resultado.
La ecuación expresada en forma implícita es:
x² + 5·x - 14 = 0
Las raíces son:
x₁ = 2
x₂ = -7
h)
| 3 | + | 2 | = | 1 |
| x - 2 | x - 3 | x - 4 |
Igualamos a cero:
| 3 | + | 2 | - | 1 | = 0 |
| x - 2 | x - 3 | x - 4 |
Sumamos las fracciones, el denominador común será "(x - 2)·(x - 3)·(x - 4)":
| 3·(x - 3)·(x - 4) + 2·(x - 2)·(x - 4) - (x - 2)·(x - 3) | = 0 |
| (x - 2)·(x - 3)·(x - 4) |
Multiplicamos ambos miembros por el denominador "(x - 2)·(x - 3)·(x - 4)" y, luego, cancelamos:
3·(x - 3)·(x - 4) + 2·(x - 2)·(x - 4) - (x - 2)·(x - 3) = 0
Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la resta:
3·(x² - 3·x - 4·x + 12) + 2·(x² - 2·x - 4·x + 8) - (x² - 2·x - 3·x + 6) = 0
3·x² - 9·x - 12·x + 36 + 2·x² - 4·x - 8·x + 16 - x² + 2·x + 3·x - 6 = 0
Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":
3·x² + 2·x² - x² - 9·x - 12·x - 4·x - 8·x + 2·x + 3·x + 36 + 16 - 6 = 0
4·x² - 28·x + 46 = 0
Extraemos factor común "2":
2·(2·x² - 14·x + 23) = 0
2·x² - 14·x + 23 = 0
Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
| x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Siendo:
a = 2
b = -14
c = 23
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| x1,2 = | -(-14) ± √(-14)² - 4·2·23 |
| 2·2 |
| x1,2 = | 14 ± √196 - 184 |
| 4 |
| x1,2 = | 14 ± √12 |
| 4 |
| x1,2 = | 14 ± √3·2² |
| 4 |
Extraemos el "2" de la raíz:
| x1,2 = | 14 ± 2·√3 |
| 4 |
Simplificamos:
| x1,2 = | 7 ± √3 |
| 2 |
Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:
| x₁ = | 7 + √3 |
| 2 |
| x₂ = | 7 - √3 |
| 2 |
Expresamos el resultado.
La ecuación expresada en forma implícita es:
2·x² - 14·x + 23 = 0
Las raíces son:
| x₁ = | 7 + √3 |
| 2 |
| x₂ = | 7 - √3 |
| 2 |
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo hallar las raíces en ecuaciones fraccionarias de segundo grado