Problema nº 1-i y 1-j, hallar las raíces en ecuaciones fraccionarias de segundo grado - TP17

Enunciado del ejercicio nº 1-i y 1-j

Resolver las siguientes ecuaciones fraccionarias de segundo grado:

i)	x	+	6	= 6
	6		x

j)	6	+	2	=	3
	x - 1		x - 2		x - 3

Solución

x	+	6	= 6
6		x

Igualamos a cero:

x	+	6	- 6 = 0
6		x

Sumamos las fracciones, el denominador común será "6·x":

x² + 36 - 36·x	= 0
6·x

Multiplicamos ambos miembros por el denominador "6·x" y, luego, cancelamos:

x² + 36 - 36·x = 0

Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":

x² - 36·x + 36 = 0

Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

x_1,2 =	-b ± √b² - 4·a·c
	2·a

Siendo:

a = 1

b = -36

c = 36

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

x_1,2 =	-(-36) ± √(-36)² - 4·1·36
	2·1

x_1,2 =	36 ± √1.296 - 144
	2

x_1,2 =	36 ± √1.152
	2

x_1,2 =	36 ± √2⁷·3²
	2

Extraemos de la raíz 2⁶·3²:

x_1,2 =	36 ± √2·2⁶·3²
	2

x_1,2 =	36 ± 2³·3·√2
	2

x_1,2 =	36 ± 24·√2
	2

Simplificamos:

x_1,2 = 18 ± 12·√2

Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:

x₁ = 18 + 12·√2

x₂ = 18 - 12·√2

Expresamos el resultado.

La ecuación expresada en forma implícita es:

x² - 36·x + 36 = 0

Las raíces son:

x₁ = 18 + 12·√2

x₂ = 18 - 12·√2

6	+	2	=	3
x - 1	+	x - 2	=	x - 3

Igualamos a cero:

6	+	2	-	3	= 0
x - 1		x - 2		x - 3

Sumamos las fracciones, el denominador común será "(x - 1)·(x - 2)·(x - 3)":

6·(x - 2)·(x - 3) + 2·(x - 1)·(x - 3) - 3·(x - 1)·(x - 2)	= 0
(x - 1)·(x - 2)·(x - 3)

Multiplicamos ambos miembros por el denominador "(x - 1)·(x - 2)·(x - 3)" y, luego, cancelamos:

6·(x - 2)·(x - 3) + 2·(x - 1)·(x - 3) - 3·(x - 1)·(x - 2) = 0

Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la resta:

6·(x² - 2·x - 3·x + 6) + 2·(x² - x - 3·x + 3) - 3·(x² - x - 2·x + 2) = 0

6·(x² - 5·x + 6) + 2·(x² - 4·x + 3) - 3·(x² - 3·x + 2) = 0

6·x² - 30·x + 36 + 2·x² - 8·x + 6 - 3·x² + 9·x - 6 = 0

Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":

6·x² + 2·x² - 3·x² - 30·x - 8·x + 9·x + 36 + 6 - 6 = 0

5·x² - 29·x + 36 = 0

Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

x_1,2 =	-b ± √b² - 4·a·c
	2·a

Siendo:

a = 5

b = -29

c = 36

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

x_1,2 =	-(-29) ± √(-29)² - 4·5·36
	2·5

x_1,2 =	29 ± √841 - 720
	10

x_1,2 =	29 ± √121
	10

x_1,2 =	29 ± 11
	10

Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:

x₁ =	29 + 11
	10

x₁ =	40
	10

x₁ = 4

x₂ =	29 - 11
	10

x₂ =	18
	10

x₂ =	9
	5

Expresamos el resultado.

La ecuación expresada en forma implícita es:

5·x² - 29·x + 36 = 0

Las raíces son:

x₁ = 4

x₂ =	9
	5

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo hallar las raíces en ecuaciones fraccionarias de segundo grado