Problema nº 1-k y 1-l, hallar las raíces en ecuaciones fraccionarias de segundo grado - TP17
Enunciado del ejercicio nº 1-k y 1-l
Resolver las siguientes ecuaciones fraccionarias de segundo grado:
| k) | 4 | + | 1 | + | 3 | = 0 |
| x + 4 | x + 3 | x + 1 |
| l) | 6 | - | 3 | = | 20 |
| x + 2 | x² - x - 6 | 9 - x² |
Solución
k)
| 4 | + | 1 | + | 3 | = 0 |
| x + 4 | x + 3 | x + 1 |
Sumamos las fracciones, el denominador común será "(x + 4)·(x + 3)·(x + 1)":
| 4·(x + 3)·(x + 1) + (x + 4)·(x + 1) + 3·(x + 4)·(x + 3) | = 0 |
| (x + 4)·(x + 3)·(x + 1) |
Multiplicamos ambos miembros por el denominador "(x - 3)·(x + 2)" y, luego, cancelamos:
4·(x + 3)·(x + 1) + (x + 4)·(x + 1) + 3·(x + 4)·(x + 3) = 0
Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma:
4·(x² + 3·x + x + 3) + x² + 4·x + x + 4 + 3·(x² + 4·x + 3·x + 12) = 0
4·x² + 12·x + 4·x + 12 + x² + 4·x + x + 4 + 3·x² + 12·x + 9·x + 36 = 0
Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":
4·x² + x² + 3·x² + 12·x + 4·x + 4·x + x + 12·x + 9·x + 12 + 4 + 36 = 0
8·x² + 42·x + 52 = 0
Extraemos factor común "2":
2·(4·x² + 21·x + 26) = 0
4·x² + 21·x + 26 = 0
Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
| x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Siendo:
a = 4
b = 21
c = 26
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| x1,2 = | -21 ± √21² - 4·4·26 |
| 2·4 |
| x1,2 = | -21 ± √441 - 416 |
| 8 |
| x1,2 = | -21 ± √25 |
| 8 |
| x1,2 = | -21 ± 5 |
| 8 |
Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:
| x₁ = | -21 + 5 |
| 8 |
| x₁ = | -16 |
| 8 |
x₁ = -2
| x₂ = | -21 - 5 |
| 8 |
| x₂ = | -26 |
| 8 |
| x₂ = | -13 |
| 4 |
Expresamos el resultado.
La ecuación expresada en forma implícita es:
4·x² + 21·x + 26 = 0
Las raíces son:
x₁ = -2
| x₂ = | -13 |
| 4 |
l)
| 6 | - | 3 | = | 20 |
| x + 2 | x² - x - 6 | 9 - x² |
Igualamos a cero:
| 6 | - | 3 | - | 20 | = 0 |
| x + 2 | x² - x - 6 | 9 - x² |
Sumamos las fracciones:
Antes de determinar el denominador común veamos que el denominador del segundo término:
x² - x - 6 = (x + 2)·(x - 3)
Y el denominador del tercer término es una diferencia de cuadrados:
9 - x² = -(x² - 9) = -(x - 3)·(x + 3)
| 6 | - | 3 | - | 20 | = 0 |
| x + 2 | (x + 2)·(x - 3) | -(x - 3)·(x + 3) |
| 6 | - | 3 | + | 20 | = 0 |
| x + 2 | (x + 2)·(x - 3) | (x - 3)·(x + 3) |
Por lo tanto, el denominador común será "(x + 2)·(x - 3)·(x + 3)":
| 6·(x - 3)·(x + 3) - 3·(x + 3) + 20·(x + 2) | = 0 |
| (x + 2)·(x - 3)·(x + 3) |
Multiplicamos ambos miembros por el denominador "(x + 2)·(x - 3)·(x + 3)" y, luego, cancelamos:
6·(x - 3)·(x + 3) - 3·(x + 3) + 20·(x + 2) = 0
Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma y a la resta:
6·(x² - 9) - 3·x - 9 + 20·x + 40 = 0
6·x² - 54 - 3·x - 9 + 20·x + 40 = 0
Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":
6·x² - 3·x + 20·x - 54 - 9 + 40 = 0
6·x² + 17·x - 23 = 0
Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
| x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Siendo:
a = 6
b = 17
c = -23
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| x1,2 = | -17 ± √17² - 4·6·(-23) |
| 2·6 |
| x1,2 = | -17 ± √289 + 552 |
| 12 |
| x1,2 = | -17 ± √841 |
| 12 |
| x1,2 = | -17 ± 29 |
| 12 |
Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:
| x₁ = | -17 + 29 |
| 12 |
| x₁ = | 12 |
| 12 |
x₁ = 1
| x₂ = | -17 - 29 |
| 12 |
| x₂ = | -46 |
| 12 |
| x₂ = - | 23 |
| 6 |
Expresamos el resultado.
La ecuación expresada en forma implícita es:
6·x² + 17·x - 23 = 0
Las raíces son:
x₁ = 1
| x₂ = - | 23 |
| 6 |
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo hallar las raíces en ecuaciones fraccionarias de segundo grado