Problema nº 1-m y 1-n, hallar las raíces en ecuaciones fraccionarias de segundo grado - TP17
Enunciado del ejercicio nº 1-m y 1-n
Resolver las siguientes ecuaciones fraccionarias de segundo grado:
| m) | 4 | + | 2 | = | 7,5 |
| x² - x - 2 | x + 1 | x² - 4 |
| n) | x² + x + 3 | = | 2·x + 5 |
| x² - x + 3 | 2·x + 7 |
Solución
m)
| 4 | + | 2 | = | 7,5 |
| x² - x - 2 | x + 1 | x² - 4 |
Igualamos a cero:
| 4 | + | 2 | - | 7,5 | = 0 |
| x² - x - 2 | x + 1 | x² - 4 |
Sumamos las fracciones:
Antes de determinar el denominador común veamos que el denominador del primer término:
x² - x - 2 = (x - 2)·(x + 1)
Y que el denominador del tercer término:
x² - 4 = (x - 2)·(x + 2)
| 4 | + | 2 | - | 7,5 | = 0 |
| (x - 2)·(x + 1) | x + 1 | (x - 2)·(x + 2) |
| 7,5 = | 75 | = | 15 |
| 10 | 2 |
| 4 | + | 2 | - | 15 | = 0 |
| (x - 2)·(x + 1) | x + 1 | 2·(x - 2)·(x + 2) |
Por lo tanto, el denominador común será "2·(x - 2)·(x + 2)·(x + 1)":
| 4·2·(x + 2) + 2·2·(x - 2)·(x + 2) - 15·(x + 1) | = 0 |
| 2·(x - 2)·(x + 2)·(x + 1) |
Multiplicamos ambos miembros por el denominador "2·(x - 2)·(x + 2)·(x + 1)" y, luego, cancelamos:
8·(x + 2) + 4·(x - 2)·(x + 2) - 15·(x + 1) = 0
Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma y a la resta:
8·x + 16 + 4·(x² - 4) - 15·x - 15 = 0
8·x + 16 + 4·x² - 16 - 15·x - 15 = 0
Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":
4·x² + 8·x - 15·x + 16 - 16 - 15 = 0
4·x² - 7·x - 15 = 0
Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
| x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Siendo:
a = 4
b = -7
c = -15
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| x1,2 = | -(-7) ± √(-7)² - 4·4·(-15) |
| 2·4 |
| x1,2 = | 7 ± √49 + 240 |
| 8 |
| x1,2 = | 7 ± √289 |
| 8 |
| x1,2 = | 7 ± 17 |
| 8 |
Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:
| x₁ = | 7 + 17 |
| 8 |
| x₁ = | 24 |
| 8 |
x₁ = 3
| x₂ = | 7 - 17 |
| 8 |
| x₂ = | -10 |
| 8 |
| x₂ = - | 5 |
| 4 |
Expresamos el resultado.
La ecuación expresada en forma implícita es:
4·x² - 7·x - 15 = 0
Las raíces son:
x₁ = 3
| x₂ = - | 5 |
| 4 |
n)
| x² + x + 3 | = | 2·x + 5 |
| x² - x + 3 | 2·x + 7 |
Igualamos a cero:
| x² + x + 3 | - | 2·x + 5 | = 0 |
| x² - x + 3 | 2·x + 7 |
Sumamos las fracciones, el denominador común será "(x² - x + 3)·(2·x + 7)":
| (x² + x + 3)·(2·x + 7) - (2·x + 5)·(x² - x + 3) | = 0 |
| (x² - x + 3)·(2·x + 7) |
Multiplicamos ambos miembros por el denominador "(x² - x + 3)·(2·x + 7)" y, luego, cancelamos:
(x² + x + 3)·(2·x + 7) - (2·x + 5)·(x² - x + 3) = 0
Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma y a la resta:
2·x³ + 2·x² + 6·x + 7·x² + 7·x + 21 - (2·x³ - 2·x² + 6·x + 5·x² - 5·x + 15) = 0
2·x³ + 2·x² + 6·x + 7·x² + 7·x + 21 - 2·x³ + 2·x² - 6·x - 5·x² + 5·x - 15 = 0
Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":
2·x³ - 2·x³ + 2·x² + 7·x² + 2·x² - 5·x² + 6·x + 7·x - 6·x + 5·x + 21 - 15 = 0
6·x² + 12·x + 6 = 0
Extraemos factor común "6":
6·(x² + 2·x + 1) = 0
x² + 2·x + 1 = 0
Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada. Resulta ser un trinomio cuadrado perfecto:
x² + 2·x + 1 = (x + 1)²
Expresamos el resultado.
La ecuación expresada en forma implícita es:
x² + 2·x + 1 = 0
Las raíces son:
x₁ = x₂ = -1
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo hallar las raíces en ecuaciones fraccionarias de segundo grado