Problema nº 1-o y 1-p, hallar las raíces en ecuaciones fraccionarias de segundo grado - TP17

Enunciado del ejercicio nº 1-o y 1-p

Resolver las siguientes ecuaciones fraccionarias de segundo grado:

o)	3·x	=	x + 5	+	x - 19
	2·x + 1		x + 1		2·x² + 3·x + 1

p)	5·x - 2	+	3·x + 2	=	5·x	+	15
	2·x + 2		4·x - 4		x² - 1		7

Solución

3·x	=	x + 5	+	x - 19
2·x + 1	=	x + 1	+	2·x² + 3·x + 1

Igualamos a cero:

3·x	-	x + 5	-	x - 19	= 0
2·x + 1		x + 1		2·x² + 3·x + 1

Sumamos las fracciones:

Antes de determinar el denominador común veamos que el denominador del tercer término:

2·x² + 3·x + 1 = (x + ½)·(x + 1)

Si multiplicamos y dividimos por "2" al primer factor nos queda:

(x + ½) =	2·(x + ½)	=	2·x + 1
	2		2

Reemplazamos:

3·x	-	x + 5	-	2·(x - 19)	= 0
2·x + 1		x + 1		(2·x + 1)·(x + 1)

Por lo tanto, el denominador común será "(2·x + 1)·(x + 1)":

3·x·(x + 1) - (x + 5)·(2·x + 1) - 2·(x - 19)	= 0
(2·x + 1)·(x + 1)

Multiplicamos ambos miembros por el denominador "(2·x + 1)·(x + 1)" y, luego, cancelamos:

3·x·(x + 1) - (x + 5)·(2·x + 1) - 2·(x - 19) = 0

Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma y a la resta:

3·x² + 3·x - (2·x² + 10·x + x + 5) - 2·x + 38 = 0

3·x² + 3·x - 2·x² - 10·x - x - 5 - 2·x + 38 = 0

Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":

3·x² - 2·x² + 3·x - 10·x - x - 2·x - 5 + 38 = 0

x² - 10·x + 33 = 0

Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

x_1,2 =	-b ± √b² - 4·a·c
	2·a

Siendo:

a = 1

b = -10

c = 33

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

x_1,2 =	-(-10) ± √(-10)² - 4·1·33
	2·1

x_1,2 =	10 ± √100 - 132
	2

x_1,2 =	10 ± √-32
	2

-32 < 0 ⇒ √-32 ∉ ℜ

Expresamos el resultado.

La ecuación expresada en forma implícita es:

x² - 10·x + 33 = 0

Las raíces no pertenecen a los reales.

5·x - 2	+	3·x + 2	=	5·x	+	15
2·x + 2	+	4·x - 4	=	x² - 1	+	7

Igualamos a cero:

5·x - 2	+	3·x + 2	-	5·x	-	15	= 0
2·x + 2		4·x - 4		x² - 1		7

Sumamos las fracciones:

Antes de determinar el denominador extraemos común "2" en el primer término y "4" en el segundo término:

5·x - 2	+	3·x + 2	-	5·x	-	15	= 0
2·(x + 1)		4·(x - 1)		x² - 1		7

Y el denominador del tercer término es una diferencia de cuadrados:

x² - 1 = (x - 1)·(x + 1)

Reemplazamos:

5·x - 2	+	3·x + 2	-	5·x	-	15	= 0
2·(x + 1)		4·(x - 1)		(x - 1)·(x + 1)		7

Por lo tanto, el denominador común será "28·(x - 1)·(x + 1)":

(5·x - 2)·14·(x - 1) + (3·x + 2)·7·(x + 1) - 5·x·28 - 15·4·(x - 1)·(x + 1)	= 0
28·(x - 1)·(x + 1)

Multiplicamos ambos miembros por el denominador "28·(x - 1)·(x + 1)" y, luego, cancelamos:

14·(5·x - 2)·(x - 1) + 7·(3·x + 2)·(x + 1) - 140·x - 60·(x - 1)·(x + 1) = 0

Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma y a la resta:

14·(5·x² - 2·x - 5·x + 2) + 7·(3·x² + 2·x + 3·x + 2) - 140·x - 60·(x² - 1) = 0

14·(5·x² - 7·x + 2) + 7·(3·x² + 5·x + 2) - 140·x - 60·x² + 60 = 0

70·x² - 98·x + 28 + 21·x² + 35·x + 14 - 140·x - 60·x² + 60 = 0

Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":

70·x² + 21·x² - 60·x² - 98·x + 35·x - 140·x + 28 + 14 + 60 = 0

31·x² - 203·x + 102 = 0

Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

x_1,2 =	-b ± √b² - 4·a·c
	2·a

Siendo:

a = 31

b = -203

c = 102

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

x_1,2 =	-(-203) ± √(-203)² - 4·31·102
	2·31

x_1,2 =	203 ± √41.209 - 12.648
	62

x_1,2 =	203 ± √28.561
	62

x_1,2 =	203 ± 169
	62

Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:

x₁ =	203 + 169
	62

x₁ =	372
	62

x₁ = 6

x₂ =	203 - 169
	62

x₂ =	34
	62

x₂ =	17
	31

Expresamos el resultado.

La ecuación expresada en forma implícita es:

31·x² - 203·x + 102 = 0

Las raíces son:

x₁ = 6

x₂ =	17
	31

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo hallar las raíces en ecuaciones fraccionarias de segundo grado