Problema nº 2-g y 2-h, hallar las raíces en ecuaciones irracionales de segundo grado - TP17
Enunciado del ejercicio nº 2-g y 2-h
Resolver las siguientes ecuaciones irracionales de segundo grado:
g) √3·x + 6 - x = 2
h) √x + 7 + 2·x - 7 = 0
Solución
g)
√3·x + 6 - x = 2
Despejamos la raíz:
√3·x + 6 = x + 2
Elevamos ambos miembros al cuadrado para cancelar la raíz cuadrada:
(√3·x + 6)² = (x + 2)²
Resolvemos:
3·x + 6 = x² + 4·x + 4
Igualamos a cero para obtener la ecuación implícita:
x² + 4·x + 4 - 3·x - 6 = 0
x² + x - 2 = 0
Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
| x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Siendo:
a = 1
b = 1
c = -2
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| x1,2 = | -1 ± √1² - 4·1·(-2) |
| 2·1 |
| x1,2 = | -1 ± √1 + 8 |
| 2 |
| x1,2 = | -1 ± √9 |
| 2 |
| x1,2 = | -1 ± 3 |
| 2 |
Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:
| x₁ = | -1 + 3 |
| 2 |
| x₁ = | 2 |
| 2 |
x₁ = 1
| x₂ = | -1 - 3 |
| 2 |
| x₂ = | -4 |
| 2 |
x₂ = -2
Expresamos el resultado.
La ecuación expresada en forma implícita es:
x² + x - 2 = 0
Las raíces son:
x₁ = 1
x₂ = -2
h)
√x + 7 + 2·x - 7 = 0
Despejamos la raíz:
√x + 7 = -2·x + 7
Elevamos ambos miembros al cuadrado para cancelar la raíz cuadrada:
(√x + 7)² = (-2·x + 7)²
Resolvemos:
x + 7 = 4·x² - 28·x + 49
Igualamos a cero para obtener la ecuación implícita:
4·x² - 28·x + 49 - x - 7 = 0
4·x² - 29·x + 42 = 0
Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
| x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Siendo:
a = 4
b = -29
c = 42
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| x1,2 = | -(-29) ± √(-29)² - 4·4·42 |
| 2·4 |
| x1,2 = | 29 ± √841 - 672 |
| 8 |
| x1,2 = | 29 ± √169 |
| 8 |
| x1,2 = | 29 ± 13 |
| 8 |
Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:
| x₁ = | 29 + 13 |
| 8 |
| x₁ = | 42 |
| 8 |
| x₁ = | 21 |
| 4 |
| x₂ = | 29 - 13 |
| 8 |
| x₂ = | 16 |
| 8 |
x₂ = 2
Expresamos el resultado.
La ecuación expresada en forma implícita es:
4·x² - 29·x + 42 = 0
Las raíces son:
| x₁ = | 21 |
| 4 |
x₂ = 2
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo hallar las raíces en ecuaciones irracionales de segundo grado