Problema nº 2-k y 2-l, hallar las raíces en ecuaciones irracionales de segundo grado - TP17

Enunciado del ejercicio nº 2-k y 2-l

Resolver las siguientes ecuaciones irracionales de segundo grado:

k) √x + 2 - √2·x + 2 + 1 = 0

l) √x + 3 - √x - 1 = √2·x + 2

Solución

√x + 2 - √2·x + 2 + 1 = 0

Despejamos las raíces:

√x + 2 - √2·x + 2 = -1

Elevamos ambos miembros al cuadrado, con esto iremos cancelando raíces cuadradas:

(√x + 2 - √2·x + 2)² = (-1)²

Resolvemos el binomio al cuadrado:

(√x + 2)² - 2·√x + 2·√2·x + 2 + (√2·x + 2)² = 1

x + 2 - 2·√(x + 2)·(2·x + 2) + 2·x + 2 = 1

2·√(x + 2)·(2·x + 2) + 3·x + 4 = 1

Nuevamente despejamos la raíz:

2·√(x + 2)·(2·x + 2) = -3·x - 4 + 1

Elevamos ambos miembros al cuadrado para cancelar la raíz cuadrada:

[2·√(2·x² + 4·x + 2·x + 4)]² = (-3·x - 3)²

Resolvemos:

4·(2·x² + 6·x + 4) = 9·x² + 18·x + 9

8·x² + 24·x + 16 = 9·x² + 18·x + 9

Igualamos a cero para obtener la ecuación implícita:

8·x² + 24·x + 16 - 9·x² - 18·x - 9 = 0

Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":

8·x² - 9·x² + 24·x - 18·x + 16 - 9 = 0

-x² + 6·x + 7 = 0

x² - 6·x - 7 = 0

Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

x_1,2 =	-b ± √b² - 4·a·c
	2·a

Siendo:

a = 1

b = -6

c = -7

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

x_1,2 =	-(-6) ± √(-6)² - 4·1·(-7)
	2·1

x_1,2 =	6 ± √36 + 28
	2

x_1,2 =	6 ± √64
	2

x_1,2 =	6 ± 8
	2

Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:

x₁ =	6 + 8
	2

x₁ =	14
	2

x₁ = 7

x₂ =	6 - 8
	2

x₂ =	-2
	2

x₂ = -1

Expresamos el resultado.

La ecuación expresada en forma implícita es:

x² - 6·x - 7 = 0

Las raíces son:

x₁ = 7

x₂ = -1

√x + 3 - √x - 1 = √2·x + 2

Elevamos ambos miembros al cuadrado para comenzar a cancelar la raíces cuadradas:

(√x + 3 - √x - 1)² = (√2·x + 2)²

Resolvemos:

(√x + 3)² - 2·√x + 3·√x - 1 + (√x - 1)² = 2·x + 2

x + 3 - 2·√(x + 3)·(x - 1) + x - 1 = 2·x + 2

Despejamos la raíz:

-2·√(x² + 3·x - x - 3) = 2·x + 2 - x - 3 - x + 1

-2·√(x² + 2·x - 3) = 0

Elevamos ambos miembros al cuadrado para cancelar la raíz cuadrada:

[-2·√(x² + 2·x - 3)]² = 0

Resolvemos:

x² + 2·x - 3 = 0

Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

x_1,2 =	-b ± √b² - 4·a·c
	2·a

Siendo:

a = 1

b = 2

c = -3

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

x_1,2 =	-2 ± √2² - 4·1·(-3)
	2·1

x_1,2 =	-2 ± √4 + 12
	2

x_1,2 =	-2 ± √16
	2

x_1,2 =	-2 ± 4
	2

Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:

x₁ =	-2 + 4
	2

x₁ =	2
	2

x₁ = 1

x₂ =	-2 - 4
	2

x₂ =	-6
	2

x₂ = -3

Expresamos el resultado.

La ecuación expresada en forma implícita es:

x² + 2·x - 3 = 0

Las raíces son:

x₁ = 1

x₂ = -3

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo hallar las raíces en ecuaciones irracionales de segundo grado