Problema nº 2-m y 2-n, hallar las raíces en ecuaciones irracionales de segundo grado - TP17

Enunciado del ejercicio nº 2-m y 2-n

Resolver las siguientes ecuaciones irracionales de segundo grado:

m) √5·x - 4 - √x = 2

n) √3·x + 1 - √2·x - 1 = 1

Solución

√5·x - 4 - √x = 2

Elevamos ambos miembros al cuadrado, con esto iremos cancelando raíces cuadradas:

(√5·x - 4 - √x)² = 2²

Resolvemos el binomio al cuadrado:

(√5·x - 4)² - 2·√5·x - 4·√x + (√x)² = 4

5·x - 4 - 2·√(5·x - 4)·x + x = 4

Despejamos la raíz:

-2·√5·x² - 4·x = 4 - 5·x + 4 - x

-2·√5·x² - 4·x = -6·x + 8

Extraemos factor común "-2" en ambos miembros:

-2·(√5·x² - 4·x) = -2·(3·x - 4)

Simplificamos:

√5·x² - 4·x = 3·x - 4

Elevamos ambos miembros al cuadrado para cancelar la raíz cuadrada:

(√5·x² - 4·x)² = (3·x - 4)²

Resolvemos:

5·x² - 4·x = 9·x² - 24·x + 16

Igualamos a cero para obtener la ecuación implícita:

9·x² - 24·x + 16 - 5·x² + 4·x = 0

Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":

9·x² - 5·x² - 24·x + 4·x + 16 = 0

4·x² - 20·x + 16 = 0

Extraemos factor común "4":

4·(x² - 5·x + 4) = 0

x² - 5·x + 4 = 0

Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

x_1,2 =	-b ± √b² - 4·a·c
	2·a

Siendo:

a = 1

b = -5

c = 4

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

x_1,2 =	-(-5) ± √(-5)² - 4·1·4
	2·1

x_1,2 =	5 ± √25 - 16
	2

x_1,2 =	5 ± √9
	2

x_1,2 =	5 ± 3
	2

Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:

x₁ =	5 + 3
	2

x₁ =	8
	2

x₁ = 4

x₂ =	5 - 3
	2

x₂ =	2
	2

x₂ = 1

Expresamos el resultado.

La ecuación expresada en forma implícita es:

x² - 5·x + 4 = 0

Las raíces son:

x₁ = 4

x₂ = 1

√3·x + 1 - √2·x - 1 = 1

Elevamos ambos miembros al cuadrado, con esto iremos cancelando raíces cuadradas:

(√3·x + 1 - √2·x - 1)² = 1²

Resolvemos el binomio al cuadrado:

(√3·x + 1)² - 2·√3·x + 1·√2·x - 1 + (√2·x - 1)² = 1

3·x + 1 - 2·√(3·x + 1)·(2·x - 1) + 2·x - 1 = 1

Despejamos la raíz:

-2·√(3·x + 1)·(2·x - 1) = 1 - 3·x - 1 - 2·x + 1

-2·√(6·x² + 2·x - 3·x - 1) = -5·x + 1

Elevamos ambos miembros al cuadrado para cancelar la raíz cuadrada:

[-2·√(6·x² - x - 1)]² = (-5·x + 1)²

Resolvemos:

4·(6·x² - x - 1) = 25·x² - 10·x + 1

24·x² - 4·x - 4 = 25·x² - 10·x + 1

Igualamos a cero para obtener la ecuación implícita:

25·x² - 10·x + 1 - 24·x² + 4·x + 4 = 0

Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":

25·x² - 24·x² - 10·x + 4·x + 1 + 4 = 0

x² - 6·x + 5 = 0

Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

x_1,2 =	-b ± √b² - 4·a·c
	2·a

Siendo:

a = 1

b = -6

c = 5

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

x_1,2 =	-(-6) ± √(-6)² - 4·1·5
	2·1

x_1,2 =	6 ± √36 - 20
	2

x_1,2 =	6 ± √16
	2

x_1,2 =	6 ± 4
	2

Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:

x₁ =	6 + 4
	2

x₁ =	10
	2

x₁ = 5

x₂ =	6 - 4
	2

x₂ =	2
	2

x₂ = 1

Expresamos el resultado.

La ecuación expresada en forma implícita es:

x² - 6·x + 5 = 0

Las raíces son:

x₁ = 5

x₂ = 1

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo hallar las raíces en ecuaciones irracionales de segundo grado