Problema nº 2-o y 2-p, hallar las raíces en ecuaciones irracionales de segundo grado - TP17
Enunciado del ejercicio nº 2-o y 2-p
Resolver las siguientes ecuaciones irracionales de segundo grado:
o) √4·x - 3 + 1 = √2·x - 2
p) √x + √3·x + 4 = √4 - x
Solución
o)
√4·x - 3 + 1 = √2·x - 2
Elevamos ambos miembros al cuadrado, con esto iremos cancelando raíces cuadradas:
(√4·x - 3 + 1)² = (√2·x - 2)²
Resolvemos el binomio al cuadrado:
(√4·x - 3)² + 2·√4·x - 3 + 1 = 2·x - 2
4·x - 3 + 2·√4·x - 3 + 1 = 2·x - 2
Despejamos la raíz:
2·√4·x - 3 = 2·x - 2 - 4·x + 3 - 1
2·√4·x - 3 = -2·x
Simplificamos en ambos términos el "2":
√4·x - 3 = -x
Elevamos ambos miembros al cuadrado para cancelar la raíz cuadrada:
(√4·x - 3)² = (-x)²
4·x - 3 = x²
Igualamos a cero para obtener la ecuación implícita:
x² - 4·x + 3 = 0
Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
| x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Siendo:
a = 1
b = -4
c = 3
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| x1,2 = | -(-4) ± √(-4)² - 4·1·3 |
| 2·1 |
| x1,2 = | 4 ± √16 - 12 |
| 2 |
| x1,2 = | 4 ± √4 |
| 2 |
| x1,2 = | 4 ± 2 |
| 2 |
Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:
| x₁ = | 4 + 2 |
| 2 |
| x₁ = | 6 |
| 2 |
x₁ = 3
| x₂ = | 4 - 2 |
| 2 |
| x₂ = | 2 |
| 2 |
x₂ = 1
Expresamos el resultado.
La ecuación expresada en forma implícita es:
x² - 4·x + 3 = 0
Las raíces son:
x₁ = 3
x₂ = 1
p)
√x + √3·x + 4 = √4 - x
Elevamos ambos miembros al cuadrado, con esto iremos cancelando raíces cuadradas:
(√x + √3·x + 4)² = (√4 - x)²
Resolvemos el binomio al cuadrado:
(√x)² + 2·√x·√3·x + 4 + (√3·x + 4)² = 4 - x
x + 2·√x·(3·x + 4) + 3·x + 4 = 4 - x
Despejamos la raíz:
2·√3·x² + 4·x = 4 - x - x - 3·x - 4
2·√3·x² + 4·x = -5·x
Elevamos ambos miembros al cuadrado para cancelar la raíz cuadrada:
(2·√3·x² + 4·x)² = (-5·x)²
Resolvemos:
4·(3·x² + 4·x) = 25·x²
12·x² + 16·x = 25·x²
Igualamos a cero para obtener la ecuación implícita:
25·x² - 12·x² - 16·x = 0
Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
| x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Siendo:
a = 25
b = -12
c = -16
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| x1,2 = | -(-12) ± √(-12)² - 4·25·(-16) |
| 2·25 |
| x1,2 = | 12 ± √144 + 1.600 |
| 50 |
| x1,2 = | 12 ± √1.744 |
| 50 |
Factorizamos el radicando:
| x1,2 = | 12 ± √4²·109 |
| 50 |
| x1,2 = | 12 ± 4·√109 |
| 50 |
Extraemos factor común "4" en el numerador:
| x1,2 = | 4·(3 ± √109) |
| 50 |
Simplificamos:
| x1,2 = | 2·(3 ± √109) |
| 25 |
Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:
| x₁ = | 2·(3 + √109) |
| 25 |
| x₂ = | 2·(3 - √109) |
| 25 |
Expresamos el resultado.
La ecuación expresada en forma implícita es:
25·x² - 12·x² - 16·x = 0
Las raíces son:
| x₁ = | 2·(3 + √109) |
| 25 |
| x₂ = | 2·(3 - √109) |
| 25 |
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo hallar las raíces en ecuaciones irracionales de segundo grado