Problema nº 2-q y 2-r, hallar las raíces en ecuaciones irracionales de segundo grado - TP17
Enunciado del ejercicio nº 2-q y 2-r
Resolver las siguientes ecuaciones irracionales de segundo grado:
q) √3·x - 1 - √8 - x = √9 - 4·x
r) √2 - √x - 4 = √12 - x
Solución
q)
√3·x - 1 - √8 - x = √9 - 4·x
Elevamos ambos miembros al cuadrado, con esto iremos cancelando raíces cuadradas:
(√3·x - 1 - √8 - x)² = (√9 - 4·x)²
Resolvemos el binomio al cuadrado:
(√3·x - 1)² - 2·√3·x - 1·√8 - x + (√8 - x)² = 9 - 4·x
3·x - 1 - 2·√(3·x - 1)·(8 - x) + 8 - x = 9 - 4·x
Despejamos la raíz:
2·√24·x - 8 - 3·x² + x = 9 - 4·x - 3·x + 1 - 8 + x
2·√-3·x² + 25·x - 8 = -6·x + 2
Elevamos ambos miembros al cuadrado para cancelar la raíz cuadrada:
(2·√-3·x² + 25·x - 8)² = (-6·x + 2)²
Resolvemos:
4·(-3·x² + 25·x - 8) = 36·x² - 24·x + 4
Extraemos factor común "4" del segundo miembro:
4·(-3·x² + 25·x - 8) = 4·(9·x² - 6·x + 1)
Simplificamos:
-3·x² + 25·x - 8 = 9·x² - 6·x + 1
Igualamos a cero para obtener la ecuación implícita:
9·x² - 6·x + 1 + 3·x² - 25·x + 8 = 0
Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":
9·x² + 3·x² - 6·x - 25·x + 1 + 8 = 0
12·x² - 31·x + 9 = 0
Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
| x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Siendo:
a = 12
b = -31
c = 9
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| x1,2 = | -(-31) ± √(-31)² - 4·12·9 |
| 2·12 |
| x1,2 = | 31 ± √961 - 432 |
| 24 |
| x1,2 = | 31 ± √529 |
| 24 |
| x1,2 = | 31 ± 23 |
| 24 |
Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:
| x₁ = | 31 + 23 |
| 24 |
| x₁ = | 54 |
| 24 |
| x₁ = | 9 |
| 4 |
| x₂ = | 31 - 23 |
| 24 |
| x₂ = | 8 |
| 24 |
| x₂ = | 1 |
| 3 |
Expresamos el resultado.
La ecuación expresada en forma implícita es:
12·x² - 31·x + 9 = 0
Las raíces son:
| x₁ = | 9 |
| 4 |
| x₂ = | 1 |
| 3 |
r)
√2 - √x - 4 = √12 - x
Elevamos ambos miembros al cuadrado, con esto iremos cancelando raíces cuadradas:
(√2 - √x - 4)² = (√12 - x)²
Resolvemos:
2 - √x - 4 = 12 - x
Despejamos la raíz:
-√x - 4 = 12 - x - 2
-√x - 4 = -x + 10
Elevamos ambos miembros al cuadrado para cancelar la raíz cuadrada:
(-√x - 4)² = (-x + 10)²
Resolvemos:
x - 4 = x² - 20·x + 100
Igualamos a cero para obtener la ecuación implícita:
x² - 20·x + 100 - x + 4 = 0
x² - 21·x + 104 = 0
Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
| x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Siendo:
a = 1
b = -21
c = 104
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| x1,2 = | -(-21) ± √(-21)² - 4·1·104 |
| 2·1 |
| x1,2 = | 21 ± √441 - 416 |
| 2 |
| x1,2 = | 21 ± √25 |
| 2 |
| x1,2 = | 21 ± 5 |
| 2 |
Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:
| x₁ = | 21 + 5 |
| 2 |
| x₁ = | 26 |
| 2 |
x₁ = 13
| x₂ = | 21 - 5 |
| 2 |
| x₂ = | 16 |
| 2 |
x₂ = 8
Expresamos el resultado.
La ecuación expresada en forma implícita es:
x² - 21·x + 104 = 0
Las raíces son:
x₁ = 13
x₂ = 8
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo hallar las raíces en ecuaciones irracionales de segundo grado