Problema nº 2-s y 2-t, hallar las raíces en ecuaciones irracionales de segundo grado - TP17
Enunciado del ejercicio nº 2-s y 2-t
Resolver las siguientes ecuaciones irracionales de segundo grado:
s) √x + 4 = 1 + √2·x - 6
t) 3·√x - √2·x + 1 = √2·x
Solución
s)
√x + 4 = 1 + √2·x - 6
Elevamos ambos miembros al cuadrado, con esto iremos cancelando raíces cuadradas:
(√x + 4)² = (1 + √2·x - 6)²
Resolvemos el binomio al cuadrado:
x + 4 = 1 + 2·√2·x - 6 + (√2·x - 6)²
x + 4 = 1 + 2·√2·x - 6 + 2·x - 6
Despejamos la raíz:
x + 4 - 2·x + 6 - 1 = 2·√2·x - 6
-x + 9 = 2·√2·x - 6
Elevamos ambos miembros al cuadrado para cancelar la raíz cuadrada:
(-x + 9)² = (2·√2·x - 6)²
Resolvemos:
x² - 18·x + 81 = 4·(2·x - 6)
x² - 18·x + 81 = 8·x - 24
Igualamos a cero para obtener la ecuación implícita:
x² - 18·x + 81 - 8·x + 24 = 0
x² - 26·x + 105 = 0
Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
| x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Siendo:
a = 1
b = -26
c = 105
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| x1,2 = | -(-26) ± √(-26)² - 4·1·105 |
| 2·1 |
| x1,2 = | 26 ± √676 - 420 |
| 2 |
| x1,2 = | 26 ± √256 |
| 2 |
| x1,2 = | 26 ± 16 |
| 2 |
Simplificamos:
x1,2 = 13 ± 8
Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:
x₁ = 13 + 8
x₁ = 21
x₂ = 13 - 8
x₂ = 5
Expresamos el resultado.
La ecuación expresada en forma implícita es:
x² - 26·x + 105 = 0
Las raíces son:
x₁ = 21
x₂ = 5
t)
3·√x - √2·x + 1 = √2·x
Elevamos ambos miembros al cuadrado, con esto iremos cancelando raíces cuadradas:
(3·√x - √2·x + 1)² = (√2·x)²
Resolvemos el binomio al cuadrado:
(3·√x)² - 2·3·√x·√2·x + 1 + (√2·x + 1)² = 2·x
9·x - 6·√x·(2·x + 1) + 2·x + 1 = 2·x
Despejamos la raíz:
9·x + 2·x + 1 - 2·x = 6·√(2·x² + x)
9·x + 1 = 6·√2·x² + x
Elevamos ambos miembros al cuadrado para cancelar la raíz cuadrada:
(9·x + 1)² = (6·√2·x² + x)²
Resolvemos:
81·x² + 18·x + 1 = 36·(2·x² + x)
81·x² + 18·x + 1 = 72·x² + 36·x
Igualamos a cero para obtener la ecuación implícita:
81·x² + 18·x + 1 - 72·x² - 36·x = 0
9·x² - 18·x + 1 = 0
Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
| x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Siendo:
a = 9
b = -18
c = 1
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| x1,2 = | -(-18) ± √(-18)² - 4·9·1 |
| 2·9 |
| x1,2 = | 18 ± √324 - 36 |
| 18 |
| x1,2 = | 18 ± √288 |
| 18 |
Hallamos el mínimo común múltiplo del radicando:
| x1,2 = | 18 ± √2⁵·3² |
| 18 |
Extraemos "2⁴·3²" de la raíz:
| x1,2 = | 18 ± 2²·3·√2 |
| 18 |
| x1,2 = | 18 ± 12·√2 |
| 18 |
Simplificamos:
| x1,2 = | 3 ± 2·√2 |
| 3 |
Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:
| x₁ = | 3 + 2·√2 |
| 3 |
| x₂ = | 3 - 2·√2 |
| 3 |
Expresamos el resultado.
La ecuación expresada en forma implícita es:
9·x² - 18·x + 1 = 0
Las raíces son:
| x₁ = | 3 + 2·√2 |
| 3 |
| x₂ = | 3 - 2·√2 |
| 3 |
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo hallar las raíces en ecuaciones irracionales de segundo grado