Problema n° 2-u y 2-v, hallar las raíces en ecuaciones irracionales de segundo grado - TP17

Enunciado del ejercicio n° 2-u y 2-v

Resolver las siguientes ecuaciones irracionales de segundo grado:

u) a + x + a - x = 2·a

v) 8·x + a² - x = 3·x + a²

Solución

u)

a + x + a - x = 2·a

Elevamos ambos miembros al cuadrado, con esto iremos cancelando raíces cuadradas:

(a + x + a - x)² = (2·a

Resolvemos el binomio al cuadrado:

(a + x)² + 2·a + x·a - x + (a - x)² = 2·a

a + x + 2·(a + x)·(a - x) + a - x = 2·a

2·a + 2·a² - x² = 2·a

Despejamos la raíz:

a² - x² = 2·a - 2·a

a² - x² = 0

a² - x² = 0

Elevamos ambos miembros al cuadrado para cancelar la raíz cuadrada:

(a² - x²)² = 0

Resolvemos:

a² - x² = 0

x² - a² = 0

Tenemos la ecuación planteada en forma implícita y ordenada. Despejamos "x":

x² = a²

x1,2 = ±

x1,2 = ± a

Expresamos el resultado.

La ecuación expresada en forma implícita es:

x² - a² = 0

Las raíces son:

x₁ = a

x₂ = -a

v)

8·x + a² - x = 3·x + a²

Elevamos ambos miembros al cuadrado, con esto iremos cancelando raíces cuadradas:

(8·x + a² - x)² = (3·x + a²

Resolvemos el binomio al cuadrado:

(8·x + a²)² - 2·8·x + a²·x + (x)² = 3·x + a²

8·x + a² - 2·(8·x + a²)·x + x = 3·x + a²

Despejamos la raíz:

-2·8·x² + a²·x = 3·x + a² - 8·x - a² - x

-2·8·x² + a²·x = -6·x

Simplificamos ambos miembros por "-2":

8·x² + a²·x = 3·x

Elevamos ambos miembros al cuadrado para cancelar la raíz cuadrada:

(8·x² + a²·x)² = (3·x)²

Resolvemos:

8·x² + a²·x = 9·x²

Igualamos a cero para obtener la ecuación implícita:

9·x² - 8·x² - a²·x = 0

x² - a²·x = 0

Extraemos factor común "x":

x·(x - a²) = 0

Para que la ecuación sea igual a cero se debe cumplir:

x = 0 ∧ x - a² = 0

Resolvemos la segunda condición:

x - a² = 0

x = a²

Expresamos el resultado.

La ecuación expresada en forma implícita es:

x² - a²·x = 0

Las raíces son:

x₁ = 0

x₂ = a²

Ejemplo, cómo hallar las raíces en ecuaciones irracionales de segundo grado

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