Problema n° 2-u y 2-v, hallar las raíces en ecuaciones irracionales de segundo grado - TP17
Enunciado del ejercicio n° 2-u y 2-v
Resolver las siguientes ecuaciones irracionales de segundo grado:
u) √a + x + √a - x = √2·a
v) √8·x + a² - √x = √3·x + a²
Solución
u)
√a + x + √a - x = √2·a
Elevamos ambos miembros al cuadrado, con esto iremos cancelando raíces cuadradas:
(√a + x + √a - x)² = (√2·a)²
Resolvemos el binomio al cuadrado:
(√a + x)² + 2·√a + x·√a - x + (√a - x)² = 2·a
a + x + 2·√(a + x)·(a - x) + a - x = 2·a
2·a + 2·√a² - x² = 2·a
Despejamos la raíz:
2·√a² - x² = 2·a - 2·a
2·√a² - x² = 0
√a² - x² = 0
Elevamos ambos miembros al cuadrado para cancelar la raíz cuadrada:
(√a² - x²)² = 0
Resolvemos:
a² - x² = 0
x² - a² = 0
Tenemos la ecuación planteada en forma implícita y ordenada. Despejamos "x":
x² = a²
x1,2 = ± √a²
x1,2 = ± a
Expresamos el resultado.
La ecuación expresada en forma implícita es:
x² - a² = 0
Las raíces son:
x₁ = a
x₂ = -a
v)
√8·x + a² - √x = √3·x + a²
Elevamos ambos miembros al cuadrado, con esto iremos cancelando raíces cuadradas:
(√8·x + a² - √x)² = (√3·x + a²)²
Resolvemos el binomio al cuadrado:
(√8·x + a²)² - 2·√8·x + a²·√x + (√x)² = 3·x + a²
8·x + a² - 2·√(8·x + a²)·x + x = 3·x + a²
Despejamos la raíz:
-2·√8·x² + a²·x = 3·x + a² - 8·x - a² - x
-2·√8·x² + a²·x = -6·x
Simplificamos ambos miembros por "-2":
√8·x² + a²·x = 3·x
Elevamos ambos miembros al cuadrado para cancelar la raíz cuadrada:
(√8·x² + a²·x)² = (3·x)²
Resolvemos:
8·x² + a²·x = 9·x²
Igualamos a cero para obtener la ecuación implícita:
9·x² - 8·x² - a²·x = 0
x² - a²·x = 0
Extraemos factor común "x":
x·(x - a²) = 0
Para que la ecuación sea igual a cero se debe cumplir:
x = 0 ∧ x - a² = 0
Resolvemos la segunda condición:
x - a² = 0
x = a²
Expresamos el resultado.
La ecuación expresada en forma implícita es:
x² - a²·x = 0
Las raíces son:
x₁ = 0
x₂ = a²
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo hallar las raíces en ecuaciones irracionales de segundo grado