Problema nº 2-w y 2-x, hallar las raíces en ecuaciones irracionales de segundo grado - TP17
Enunciado del ejercicio nº 2-w y 2-x
Resolver las siguientes ecuaciones irracionales de segundo grado:
w) √a·x + b - √a·x - b = √3·a·x - b
x) √2·a + 2·x + √10·a - 6·x = 4·√a
Solución
w)
√a·x + b - √a·x - b = √3·a·x - b
Elevamos ambos miembros al cuadrado, con esto iremos cancelando raíces cuadradas:
(√a·x + b - √a·x - b)² = (√3·a·x - b)²
Resolvemos el binomio al cuadrado:
(√a·x + b)² - 2·√a·x + b·√a·x - b + (√a·x - b)² = 3·a·x - b
a·x + b - 2·√(a·x + b)·(a·x - b) + a·x - b = 3·a·x - b
2·a·x - 2·√(a·x)² - b² = 3·a·x - b
Despejamos la raíz:
-2·√a²·x² - b² = 3·a·x - b - 2·a·x
-2·√a²·x² - b² = a·x - b
Elevamos ambos miembros al cuadrado para cancelar la raíz cuadrada:
(-2·√a²·x² - b²)² = (a·x - b)²
Resolvemos:
4·(a²·x² - b²) = a²·x² - 2·a·b·x + b²
4·a²·x² - 4·b² = a²·x² - 2·a·b·x + b²
Igualamos a cero para obtener la ecuación implícita:
4·a²·x² - 4·b² - a²·x² + 2·a·b·x - b² = 0
Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":
3·a²·x² + 2·a·b·x - 5·b² = 0
Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
| x1,2 = | -v ± √v² - 4·u·w |
| 2·u |
Siendo:
u = 3·a²
v = 2·a·b
w = -5·b²
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| x1,2 = | -2·a·b ± √(2·a·b)² - 4·3·a²·(-5·b²) |
| 2·3·a² |
| x1,2 = | -2·a·b ± √4·a²·b² + 60·a²·b² |
| 6·a² |
| x1,2 = | -2·a·b ± √64·a²·b² |
| 6·a² |
| x1,2 = | -2·a·b ± 8·a·b |
| 6·a² |
Simplificamos:
| x1,2 = | -b ± 4·b |
| 3·a |
Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:
| x₁ = | -b + 4·b |
| 3·a |
| x₁ = | 3·b |
| 3·a |
| x₁ = | b |
| a |
| x₂ = | -b - 4·b |
| 3·a |
| x₂ = | -5·b |
| 3·a |
Expresamos el resultado.
La ecuación expresada en forma implícita es:
3·a²·x² + 2·a·b·x - 5·b² = 0
Las raíces son:
| x₁ = | b |
| a |
| x₂ = - | 5·b |
| 3·a |
x)
√2·a + 2·x + √10·a - 6·x = 4·√a
Elevamos ambos miembros al cuadrado, con esto iremos cancelando raíces cuadradas:
(√2·a + 2·x + √10·a - 6·x)² = (4·√a)²
Resolvemos el binomio al cuadrado:
(√2·a + 2·x)² + 2·√2·a + 2·x·√10·a - 6·x + (√10·a - 6·x)² = 16·a
2·a + 2·x + 2·√(2·a + 2·x)·(10·a - 6·x) + 10·a - 6·x = 16·a
2·√2·(a + x)·2·(5·a - 3·x) + 12·a - 4·x = 16·a
2·√4·(5·a² + 5·a·x - 3·a·x - 3·x²) + 12·a - 4·x = 16·a
2·2·√5·a² + 2·a·x - 3·x² + 12·a - 4·x = 16·a
4·√5·a² + 2·a·x - 3·x² + 12·a - 4·x = 16·a
Extraemos factor común "4" en el primer miembro:
4·(√5·a² + 2·a·x - 3·x² + 3·a - x) = 16·a
Simplificamos:
√5·a² + 2·a·x - 3·x² + 3·a - x = 4·a
Despejamos la raíz:
√5·a² + 2·a·x - 3·x² = x + 4·a - 3·a
√5·a² + 2·a·x - 3·x² = x + a
Elevamos ambos miembros al cuadrado para cancelar la raíz cuadrada:
(√5·a² + 2·a·x - 3·x²)² = (x + a)²
Resolvemos:
5·a² + 2·a·x - 3·x² = x² + 2·a·x + a²
Igualamos a cero para obtener la ecuación implícita:
x² + 2·a·x + a² - 5·a² - 2·a·x + 3·x² = 0
Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":
x² + 3·x² + 2·a·x - 2·a·x + a² - 5·a² = 0
4·x² - 4·a² = 0
4·(x² - a²) = 0
x² - a² = 0
Despejamos "x":
x² = a²
x1,2 = ± √a²
x1,2 = ± a
Expresamos el resultado.
La ecuación expresada en forma implícita es:
x² - a² = 0
Las raíces son:
x₁ = a
x₂ = -a
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo hallar las raíces en ecuaciones irracionales de segundo grado