Problema nº 3-a, hallar el coeficiente para que las raíces sean iguales - TP17

Enunciado del ejercicio nº 3-a

Determinar "k" de modo que cada ecuación tenga sus raíces iguales:

x² - 5·x + k = 0

x² - 5·x + k = 0

Planteamos la ecuación dada igualada a la expresión del producto de binomios:

(x - x₁)·(x - x₂) = x² - 5·x + k (1)

Si x₁ = x₂:

(x - x_1,2)·(x - x_1,2) = x² - 5·x + k

(x - x_1,2)² = x² - 5·x + k

Desarrollamos el binomio al cuadrado:

x² - 2·x·x_1,2 + x_1,2² = x² - 5·x + k

Cancelamos los monomios iguales:

-2·x·x_1,2 + x_1,2² = -5·x + k

Igualamos los términos de igual grado en x:

-2·x·x_1,2 = -5·x (2)

x_1,2² = k (3)

De (2) despejamos x_1,2:

-2·x·x_1,2 = -5·x

2·x_1,2 = 5

x_1,2 = 5/2

Reemplazamos en (3):

k = (5/2)²

k = 25/4

Verificamos con el planteo (1):

(x - 5/2)·(x - 5/2) = x² - 5·x + k

x² - 2·x·5/2 + (5/2)² = x² - 5·x + k

x² - 5·x + 25/4 = x² - 5·x + k ∎

El valor de "k" para que las raíces sean iguales es:

k = 25/4

Las raíces son x₁ = x₂ = 5/2.

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo hallar el coeficiente para que las raíces de la ecuación sean iguales