Problema nº 3-b, hallar el coeficiente para que las raíces sean iguales - TP17

Enunciado del ejercicio nº 3-b

Determinar "k" de modo que cada ecuación tenga sus raíces iguales:

3·x² + 8·x + k = 0

3·x² + 8·x + k = 0

Planteamos la ecuación dada igualada a la expresión del producto de binomios:

3·(x - x₁)·(x - x₂) = 3·x² + 8·x + k (1)

Si x₁ = x₂:

3·(x - x_1,2)·(x - x_1,2) = 3·x² + 8·x + k

3·(x - x_1,2)² = 3·x² + 8·x + k

Desarrollamos el binomio al cuadrado:

3·(x² - 2·x·x_1,2 + x_1,2²) = 3·x² + 8·x + k

3·x² - 6·x·x_1,2 + 3·x_1,2² = 3·x² + 8·x + k

Igualamos los términos de igual grado en x:

3·x² = 3·x² (2)

-6·x·x_1,2 = 8·x (3)

3·x_1,2² = k (4)

La ecuación (2) no contiene la incógnita.

De (3) despejamos x_1,2:

-6·x·x_1,2 = 8·x

Cancelamos x:

6·x_1,2 = -8

x_1,2 = -8/6

x_1,2 = -4/3

Reemplazamos en (4):

k = 3·(-4/3)²

k = 3·16/9

k = 16/3

Verificamos con el planteo (1):

3·[x - (-4/3)]·[x - (-4/3)] = 3·x² + 8·x + k

3·(x + 4/3)·(x + 4/3) = 3·x² + 8·x + k

3·x² + 3·2·x·4/3 + 3·(4/3)² = 3·x² + 8·x + k

3·x² + 3·8·x/3 + 3·16/9 = 3·x² + 8·x + k

3·x² + 8·x + 16/3 = 3·x² + 8·x + k ∎

El valor de "k" para que las raíces sean iguales es:

k = 16/3

Las raíces son x₁ = x₂ = -4/3.

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo hallar el coeficiente para que las raíces de la ecuación sean iguales