Problema nº 3-c, hallar el coeficiente para que las raíces sean iguales - TP17

Enunciado del ejercicio nº 3-c

Determinar "k" de modo que cada ecuación tenga sus raíces iguales:

2·x² - 6·x + k = 0

2·x² - 6·x + k = 0

Planteamos la ecuación dada igualada a la expresión del producto de binomios:

2·(x - x₁)·(x - x₂) = 2·x² - 6·x + k (1)

Si x₁ = x₂:

2·(x - x_1,2)·(x - x_1,2) = 2·x² - 6·x + k

2·(x - x_1,2)² = 2·x² - 6·x + k

Desarrollamos el binomio al cuadrado:

2·(x² - 2·x·x_1,2 + x_1,2²) = 2·x² - 6·x + k

2·x² - 4·x·x_1,2 + 2·x_1,2² = 2·x² - 6·x + k

Igualamos los términos de igual grado en x:

2·x² = 2·x² (2)

-4·x·x_1,2 = -6·x (3)

2·x_1,2² = k (4)

La ecuación (2) no contiene la incógnita.

De (3) despejamos x_1,2:

-4·x·x_1,2 = -6·x

Cancelamos x:

-4·x_1,2 = -6

x_1,2 = 6/4

x_1,2 = 3/2

Reemplazamos en (4):

k = 2·(3/2)²

k = 2·9/4

k = 9/2

Verificamos con el planteo (1):

2·(x - 3/2)·(x - 3/2) = 2·x² - 6·x + k

2·x² - 2·2·x·3/2 + 2·(3/2)² = 2·x² - 6·x + k

2·x² - 2·6·x/2 + 2·9/4 = 2·x² - 6·x + k

2·x² - 6·x + 9/2 = 2·x² - 6·x + k ∎

El valor de "k" para que las raíces sean iguales es:

k = 9/2

Las raíces son x₁ = x₂ = 3/2.

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo hallar el coeficiente para que las raíces de la ecuación sean iguales