Problema n° 3-c, hallar el coeficiente para que las raíces sean iguales - TP17
Enunciado del ejercicio n° 3-c
Determinar "k" de modo que cada ecuación tenga sus raíces iguales:
2·x² - 6·x + k = 0
Solución
2·x² - 6·x + k = 0
Planteamos la ecuación dada igualada a la expresión del producto de binomios:
2·(x - x₁)·(x - x₂) = 2·x² - 6·x + k (1)
Si x₁ = x₂:
2·(x - x1,2)·(x - x1,2) = 2·x² - 6·x + k
2·(x - x1,2)² = 2·x² - 6·x + k
Desarrollamos el binomio al cuadrado:
2·(x² - 2·x·x1,2 + x1,2²) = 2·x² - 6·x + k
2·x² - 4·x·x1,2 + 2·x1,2² = 2·x² - 6·x + k
Igualamos los términos de igual grado en x:
2·x² = 2·x² (2)
-4·x·x1,2 = -6·x (3)
2·x1,2² = k (4)
La ecuación (2) no contiene la incógnita.
De (3) despejamos x1,2:
-4·x·x1,2 = -6·x
Cancelamos x:
-4·x1,2 = -6
x1,2 = 6/4
x1,2 = 3/2
Reemplazamos en (4):
k = 2·(3/2)²
k = 2·9/4
k = 9/2
Verificamos con el planteo (1):
2·(x - 3/2)·(x - 3/2) = 2·x² - 6·x + k
2·x² - 2·2·x·3/2 + 2·(3/2)² = 2·x² - 6·x + k
2·x² - 2·6·x/2 + 2·9/4 = 2·x² - 6·x + k
2·x² - 6·x + 9/2 = 2·x² - 6·x + k ∎
El valor de "k" para que las raíces sean iguales es:
k = 9/2
Las raíces son x₁ = x₂ = 3/2.
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo hallar el coeficiente para que las raíces de la ecuación sean iguales