Problema nº 3-d, hallar el coeficiente para que las raíces sean iguales - TP17

Enunciado del ejercicio nº 3-d

Determinar "k" de modo que cada ecuación tenga sus raíces iguales:

25·x² + k·x + 1 = 0

25·x² + k·x + 1 = 0

Planteamos la ecuación dada igualada a la expresión del producto de binomios:

25·(x - x₁)·(x - x₂) = 25·x² + k·x + 1 (1)

Si x₁ = x₂:

25·(x - x_1,2)·(x - x_1,2) = 25·x² + k·x + 1

25·(x - x_1,2)² = 25·x² + k·x + 1

Desarrollamos el binomio al cuadrado:

25·(x² - 2·x·x_1,2 + x_1,2²) = 25·x² + k·x + 1

25·x² - 50·x·x_1,2 + 25·x_1,2² = 25·x² + k·x + 1

Igualamos los términos de igual grado en x:

25·x² = 25·x² (2)

-50·x·x_1,2 = k·x (3)

25·x_1,2² = 1 (4)

La ecuación (2) no contiene la incógnita.

De (4) despejamos x_1,2:

x_1,2² = 1/25

x_1,2 = ±√1/25

x_1,2 = ±⅕

Reemplazamos en (3):

-50·x·(±⅕) = k·x

Cancelamos x:

-50·(±⅕) = k

k = ±10

Verificamos con el planteo (1):

Para x_1,2 = ⅕

25·(x - ⅕)·(x - ⅕) = 25·x² + k·x + 1

25·x² - 2·25·x·⅕ + 2·(⅕)² = 25·x² + k·x + 1

25·[x² - 2·x·⅕ + (⅕)²] = 25·x² + k·x + 1

25·(x² - ⅖·x + 1/25) = 25·x² + k·x + 1

25·x² - 50·x·⅕ + 25·1/25 = 25·x² + k·x + 1

25·x² - 10·x + 1 ≠ 25·x² + k·x + 1

Para x_1,2 = -⅕

25·[x - (-⅕)]·[(x - (-⅕)] = 25·x² + k·x + 1

25·(x + ⅕)·(x + ⅕) = 25·x² + k·x + 1

25·[x² + 2·x·⅕ + (⅕)²] = 25·x² + k·x + 1

25·(x² + ⅖·x + 1/25) = 25·x² + k·x + 1

25·x² + 25·⅖·x + 25/25 = 25·x² + k·x + 1

25·x² + 10·x + 1 = 25·x² + k·x + 1 ∎

El valor de "k" para que las raíces sean iguales es:

k = 10

Las raíces son x₁ = x₂ = -⅕.

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo hallar el coeficiente para que las raíces de la ecuación sean iguales