Problema n° 3-d, hallar el coeficiente para que las raíces sean iguales - TP17
Enunciado del ejercicio n° 3-d
Determinar "k" de modo que cada ecuación tenga sus raíces iguales:
25·x² + k·x + 1 = 0
Solución
25·x² + k·x + 1 = 0
Planteamos la ecuación dada igualada a la expresión del producto de binomios:
25·(x - x₁)·(x - x₂) = 25·x² + k·x + 1 (1)
Si x₁ = x₂:
25·(x - x1,2)·(x - x1,2) = 25·x² + k·x + 1
25·(x - x1,2)² = 25·x² + k·x + 1
Desarrollamos el binomio al cuadrado:
25·(x² - 2·x·x1,2 + x1,2²) = 25·x² + k·x + 1
25·x² - 50·x·x1,2 + 25·x1,2² = 25·x² + k·x + 1
Igualamos los términos de igual grado en x:
25·x² = 25·x² (2)
-50·x·x1,2 = k·x (3)
25·x1,2² = 1 (4)
La ecuación (2) no contiene la incógnita.
De (4) despejamos x1,2:
x1,2² = 1/25
x1,2 = ±√1/25
x1,2 = ±⅕
Reemplazamos en (3):
-50·x·(±⅕) = k·x
Cancelamos x:
-50·(±⅕) = k
k = ±10
Verificamos con el planteo (1):
Para x1,2 = ⅕
25·(x - ⅕)·(x - ⅕) = 25·x² + k·x + 1
25·x² - 2·25·x·⅕ + 2·(⅕)² = 25·x² + k·x + 1
25·[x² - 2·x·⅕ + (⅕)²] = 25·x² + k·x + 1
25·(x² - ⅖·x + 1/25) = 25·x² + k·x + 1
25·x² - 50·x·⅕ + 25·1/25 = 25·x² + k·x + 1
25·x² - 10·x + 1 ≠ 25·x² + k·x + 1
Para x1,2 = -⅕
25·[x - (-⅕)]·[(x - (-⅕)] = 25·x² + k·x + 1
25·(x + ⅕)·(x + ⅕) = 25·x² + k·x + 1
25·[x² + 2·x·⅕ + (⅕)²] = 25·x² + k·x + 1
25·(x² + ⅖·x + 1/25) = 25·x² + k·x + 1
25·x² + 25·⅖·x + 25/25 = 25·x² + k·x + 1
25·x² + 10·x + 1 = 25·x² + k·x + 1 ∎
El valor de "k" para que las raíces sean iguales es:
k = 10
Las raíces son x₁ = x₂ = -⅕.
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo hallar el coeficiente para que las raíces de la ecuación sean iguales