Problema nº 3-e, hallar el coeficiente para que las raíces sean iguales - TP17

Enunciado del ejercicio nº 3-e

Determinar "k" de modo que cada ecuación tenga sus raíces iguales:

k·x² + k·x + 1 = 0

k·x² + k·x + 1 = 0

Planteamos la ecuación dada igualada a la expresión del producto de binomios:

k·(x - x₁)·(x - x₂) = k·x² + k·x + 1 (1)

Si x₁ = x₂:

k·(x - x_1,2)·(x - x_1,2) = k·x² + k·x + 1

k·(x - x_1,2)² = k·x² + k·x + 1

Desarrollamos el binomio al cuadrado:

k·(x² - 2·x·x_1,2 + x_1,2²) = k·x² + k·x + 1

k·x² - 2·k·x·x_1,2 + k·x_1,2² = k·x² + k·x + 1

Igualamos los términos de igual grado en x:

k·x² = k·x² (2)

-2·k·x·x_1,2 = k·x (3)

k·x_1,2² = 1 (4)

La ecuación (2) se descarta.

De (3) despejamos x_1,2:

-2·k·x·x_1,2 = k·x

Cancelamos:

-2·x_1,2 = 1

x_1,2 = -½

Reemplazamos en (4):

k·(-½)² = 1

k·¼ = 1

k = 4

Verificamos con el planteo (1):

4·[x - (-½)]·[(x - (-½)] = k·x² + k·x + 1

4·(x + ½)·(x + ½) = k·x² + k·x + 1

4·[x² + 2·x·½ + (½)²] = k·x² + k·x + 1

4·(x² + x + ¼) = k·x² + k·x + 1

4·x² + 4·x + 4·¼ = k·x² + k·x + 1

4·x² + 4·x + 1 = k·x² + k·x + 1 ∎

El valor de "k" para que las raíces sean iguales es:

k = 4

Las raíces son x₁ = x₂ = -½.

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo hallar el coeficiente para que las raíces de la ecuación sean iguales