Problema nº 3-f, hallar el coeficiente para que las raíces sean iguales - TP17

Enunciado del ejercicio nº 3-f

Determinar "k" de modo que cada ecuación tenga sus raíces iguales:

k·x² - 3·x + k = 0

k·x² - 3·x + k = 0

Planteamos la ecuación dada igualada a la expresión del producto de binomios:

k·(x - x₁)·(x - x₂) = k·x² - 3·x + k (1)

Si x₁ = x₂:

k·(x - x_1,2)·(x - x_1,2) = k·x² - 3·x + k

k·(x - x_1,2)² = k·x² - 3·x + k

Desarrollamos el binomio al cuadrado:

k·(x² - 2·x·x_1,2 + x_1,2²) = k·x² - 3·x + k

k·x² - 2·k·x·x_1,2 + k·x_1,2² = k·x² - 3·x + k

Igualamos los términos de igual grado en x:

k·x² = k·x² (2)

-2·k·x·x_1,2 = -3·x (3)

k·x_1,2² = k (4)

La ecuación (2) se descarta.

De (4) despejamos x_1,2:

k·x_1,2² = k

Cancelamos:

x_1,2² = 1

x_1,2 = ±1

Reemplazamos en (3):

-2·k·x·(±1) = -3·x

Cancelamos:

2·k·(±1) = 3

k = ±3/2

Verificamos con el planteo (1):

Para x_1,2 = 1

(3/2)·(x - 1)·(x - 1) = k·x² - 3·x + k

(3/2)·(x² - 2·x·1 + 1²) = k·x² - 3·x + k

(3/2)·(x² - 2·x + 1) = k·x² - 3·x + k

(3/2)·x² - (3/2)·2·x + (3/2)·1 = k·x² - 3·x + k

(3/2)·x² - 3·x + 3/2 = k·x² - 3·x + k ∎

Para x_1,2 = -1

(-3/2)·[x - (-1)]·[(x - (-1)] = k·x² - 3·x + k

(-3/2)·(x + 1)·(x + 1) = k·x² - 3·x + k

(-3/2)·(x² + 2·x·1 + 1²) = k·x² - 3·x + k

(-3/2)·(x² + 2·x + 1) = k·x² - 3·x + k

(-3/2)·x² + (-3/2)·2·x + (-3/2)·1 = k·x² - 3·x + k

-(3/2)·x² - 3·x - 3/2 ≠ k·x² - 3·x + k

El valor de "k" para que las raíces sean iguales es:

k = 3/2

Las raíces son x₁ = x₂ = 1.

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo hallar el coeficiente para que las raíces de la ecuación sean iguales