Guía nº 6 de ejercicios de ecuaciones de segundo grado

Resolver los siguientes ejercicios

Problema nº 1

Sin resolver la ecuación, determinar el carácter de las raíces de las ecuaciones siguientes:

a) 4·x² - 2·x + 1 = 0

b) 4·x² - 2 = 5·x

c) 3·z² + 4 = 2·z

d) 4·x² + 5·x = 5

e) 9·x² - 36 = 0

f) x² + 7·x + 7 = 0

g) 10·x² - 13·x + 2 = 0

h) 12·x² + 13·x - 35 = 0

i) x² - 2·√3·x + 2 = 0

j) √2·x² - 3·x + √2 = 0

Problema nº 2

¿Para que valores de …:

a) El parámetro a se anula una raíz de la ecuación x² - 2·a·x + a² - 3·a + 2 = 0?

b) Los parámetros a y b son iguales a las raíces de la ecuación x² - 4·b·x + 4·b² - a² = 0?

c) Los parámetros a y b se anula una de las raíces de la ecuación de (b)?

Problema nº 3

Hallar el radio de un círculo sabiendo que la distancia entre dos cuerdas paralelas, iguales a los ocho quintos de ese radio, es de 60 cm.

Problema nº 4

Hallar la intersección de la recta de pendiente 1 que pasa por el vértice de la parábola y = x² - 2·x, con las rectas que cortan a dicha parábola, pasando por O = (0; 0) y por los puntos de la parábola P₁ = (x₁; 3) o P₂ = (x₂;3), graficar.

Problema nº 5

Hallar el valor de los coeficientes b y c para que la ecuación:

a) 2·x² - b·x + c = 0 tenga por raíz a x₁ = 1 + 4·i

b) x² + b·x + c = 0 tenga la raíz doble x₁ = x₂ = -3

Problema nº 6

Dada f(x) = a·x² - 2·x + 3, investigar para qué valores de a ∈ ℜ es f(x) ≤ 0, ∀ x ∈ ℜ.

Problema nº 7

Reconstruir la ecuación cuyas raíces sean la suma y el producto de las raíces de la ecuación

2·x² + 3·x - 1 = 0, sin resolver esta última.

Problema nº 8

Hallar las restantes raíces de los siguientes polinomios y factorearlos:

a) 2·x⁴ + 10·x³ + 10·x² - 10·x - 12, sabiendo que 1 y - 2 son raíces.

b) x⁵ + 2·x⁴ - 2·x³ - 4·x² + x + 2, sabiendo que -1 es raíz doble y - 2 es raíz.

Problema nº 9

Dado el sistema:

y = x² + p·x + 4
y = x + p

Hallar p para que la recta sea tangente a la parábola.

Problema nº 10

En un plano se han dado varios puntos de manera que tres cualesquiera de ellos no están sobre una recta. Determinar el número de puntos sabiendo que por ellos se pueden trazar un total de 28 rectas distintas.

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina