Probabilidad condicional

Definición:

Para dos eventos A y B cualesquiera con P(B) > 0, la probabilidad condicional de A dado que B ha ocurrido está dada por:

P(A|B) = P(A∩B)/P(B)

Cuadro de Contingencia.

	A	B
H	P(A∩H)	P(B∩H)	P(H)
K	P(A∩K)	P(B∩K)	P(K)
	P(A)	P(B)	1

Del cuadro:

P(A) = P(A∩H) + P(A∩K)

P(B) = P(B∩H) + P(B∩K)

P(H) = P(A∩H) + P(B∩H)

P(K) = P(A∩K) + P(B∩K)

P(A) + P(B) = 1

P(H) + P(K) = 1

P(A∩H) = P(A|H)·P(H)

P(A∩H) = P(H|A)·P(A)

P(A∩K) = P(A|K)·P(K)

P(A∩K) = P(K|A)·P(A)

P(B∩H) = P(H|B)·P(B)

P(B∩H) = P(B|H)·P(H)

P(B∩K) = P(B|K)·P(K)

P(B∩K) = P(K|B)·P(B)

P(A) ó P(H) = P(A∪H) = P(A∩K) + P(B∩H) - P(A∩H) - Para eventos independientes

Teorema de Bayes

P(Aₖ\|B) =	P(Aₖ∩B)
	P(B)

P(Aₖ\|B) =	P(B\|Aₖ)·P(Aₖ)
	n	P(B\|Aᵢ)·P(Aᵢ)
	∑
	i = 1

Ejemplo: De 300 estudiantes de Ciencias Económicas, 100 cursan Estadística y 80 cursan Historia Económica I. Estas cifras incluyen 30 estudiantes que cursan ambas materias.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente curse Estadística o Historia Económica I?

b) Idem anterior pero que no curse ninguna de esas dos materias

c) ¿Qué probabilidad hay de que al elegir un estudiante al azar curse Historia Económica I, dado que cursa Estadística?

d) ¿Qué probabilidad hay de que al elegir un estudiante al azar curse Estadística, dado que cursa Historia Económica I?

e) Pruebe si el hecho de cursar Estadística es independiente de cursar Historia Económica I

Llamamos:

E: Estadística.

HE: Historia Económica I.

X: ni Estadística ni Historia Económica I.

Armamos la tabla:

	HE	HE
E	30		100
Ē			200
	80	220	300

Completamos los lugares vacíos:

	HE	HE
E	30	70	100
Ē	50	150	200
	80	220	300

Se pide P(E) o P(HE), es decir P(E∪HE).

P(E∪HE) = P(E) + P(HE) - P(E∩HE)

P(E) = 100/300 = 0,333

P(HE) = 80/300 = 0,267

P(E∩HE) = 30/300 = 0,100

P(E∪HE) = 0,333 + 0,267 - 0,100 = 0,500

Se pide P(Ē∪HE).

P(Ē∪HE) = P(Ē) + P(HE) - P(Ē∩HE)

P(Ē) = 200/300 = 0,667

P(HE) = 220/300 = 0,733

P(Ē∩HE) = 270/300 = 0,900

P(Ē∪HE) = 0,667 + 0,733 - 0,900 = 0,500

Se pide P(HE|E).

P(HE|E) = P(E∩HE)/P(E) = 0,100/0,333 = 0,3003

Se pide P(E|HE).

P(E|HE) = P(E∩HE)/P(HE) = 0,100/0,267 = 0,3745

Se pide P(E∩HE) = P(E)·P(HE).

0,100 ≠ 0,333·0,267 No son independientes

Bibliografía:

"Probabilidad y estadísticas para ingeniería y ciencias". Jay L. Devore. 1.998.

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

P(Aₖ\|B) =	P(B\|Aₖ)·P(Aₖ)
	n	P(B\|Aᵢ)·P(Aᵢ)
	∑
	i = 1