Problema n° 2 de regresión lineal, varianza poblacional e intervalo de confianza - TP04
Enunciado del ejercicio n° 2
Se quiere conocer la relación funcional entre la edad al primer parto y la pérdida de peso post parto en vacas Jersey. Con este objetivo se toma una muestra al azar de 15 vacas de un tambo, se miden ambas variables y se realiza un análisis de regresión en planilla de cálculo que produce los siguientes resultados:
Estadísticas de la regresión
Coeficiente de determinación R² Error standard N° de observaciones | 0,945 0,920 15 |
Coeficientes | Error standard | Estadístico t | Probabilidad | LI 95 % | LS 95 % | |
Intercepción | 55,2843 | 0,8378 | 65,98 | 8,3·10⁻¹⁸ | 53,4742 | 57,0943 |
Pendiente | -0,368 | 0,0246 | -14,93 | 1,5·10⁻⁹ | -0,4213 | -0,3148 |
Identifique las variables.
X = edad al primer parto
Y = pérdida de peso post parto
Escriba el modelo lineal correspondiente y describa cada parámetro desde el punto de vista del problema. Calcule y grafique la recta de regresión.
El modelo básico puede formalizarse de la siguiente manera:
Yᵢ = b₀ + b₁·Xᵢ + eᵢ
Donde Yᵢ es el valor de la variable respuesta en el i-ésimo ensayo, b₀ y b₁ son parámetros, Xᵢ es el valor de la variable independiente en el i-ésimo ensayo y eᵢ es un término de error aleatorio.
b₀ = 55,28 estimador de b₀ (ordenada al origen) no tiene sentido en términos del problema.
b₁ = -0,368 estimador de b₁ (pendiente) indica cuanto disminuye la pérdida de peso post parto ante un aumento unitario de la edad al primer parto
ŷ = 55,28 - 0,368·X
Pruebe la hipótesis que sostiene: "a medida que aumenta la edad de la vaca, la pérdida de peso post parto es menor"
Prueba de hipótesis para b₁
El valor p es 1,5·10⁻⁹, por lo tanto, rechazo la hipótesis nula y hay regresión. Por lo tanto puedo afirmar que " a medida que aumenta la edad de la vaca, la pérdida de peso post parto es menor"
Estime un intervalo de confianza del 95 % para cada uno de los parámetros estimados.
Límites de confianza con 1 - a para b₀: b₀ ± t(n - 2; 1 - α/2)·s(b₀)
P{b₁ - t·(1 - α/2; n - 2)·s·(b₁) ≤ β₁ ≤ b₁ + t·(1 - α/2; n - 2)·s·(b₁)} = 1 - α
LI 95 % | LS 95 % |
53,4742 -0,4213 | 57,0943 -0,3148 |
Estime la varianza poblacional
CME = error típico 2 = 0,8464
¿Si la vaca Jersey tiene 24 meses al momento de parir, cual sería el peso promedio estimado de pérdida? Además de la estimación puntual, presente un intervalo de confianza del 90 %.
Estimación puntual
Si x = 24ŷ(24)
x = 55,28 - 0,368·24
x = 46,448
Estimación por intervalo
Datos:
CME = 0,8464
n = 15
S²·b₁ = 0,00060516
S²·b₀ = 0,70190884
Para calcular
S²·b₁ = CME·[1/n + (Xₖ - X)²/∑(Xᵢ - X)²]
Primero debo despejar
S²·b₁ = CME/∑(Xᵢ - X)² = 0,8464/∑(Xᵢ - X)² = 0,00060516
Luego:
∑(Xᵢ - x)² = 1.398,6383
Debo seguir despejando
S²·(b₀) = CME·[1/n + X²/∑(Xᵢ - X)²]
0,70190884 = 0,8464·(1/15 + X²/1.398,6383)
Luego:
X² = 1.066,63054
Entonces
X = 32,6593102
Finalmente
s²(ŶA) = 0,8464·[1/15 + (24 - 32,659)²/1.398,6383]
s²(ŶA) = 0,1018
s²(ŶA) = 0,319
Intervalo de confianza para E(Yk)
Un IC de 1 - a para E(Yk) es: Ŷₖ ± t(n - 2; 1 - α/2)·s(Ŷₖ)
46,448 ± 1,77·0,319
Finalmente el intervalo será
45,88337 | 47,01263 |
Interprete el coeficiente de determinación desde el punto de vista del problema.
El 94,5 % de las variaciones en y, están explicadas por las variaciones en x.
Autor: Olga Susana Filippini. Argentina.
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).
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Ejemplo, cómo analizar la regresión lineal y cómo calcular la varianza poblacional y el intervalo de confianza