Problema n° 2 de regresión lineal, varianza poblacional e intervalo de confianza - TP04

Enunciado del ejercicio n° 2

Se quiere conocer la relación funcional entre la edad al primer parto y la pérdida de peso post parto en vacas Jersey. Con este objetivo se toma una muestra al azar de 15 vacas de un tambo, se miden ambas variables y se realiza un análisis de regresión en planilla de cálculo que produce los siguientes resultados:

Estadísticas de la regresión

Coeficiente de determinación R²
Error standard
N° de observaciones

0,945
0,920
15

	Coeficientes	Error standard	Estadístico t	Probabilidad	LI 95 %	LS 95 %
Intercepción	55,2843	0,8378	65,98	8,3·10⁻¹⁸	53,4742	57,0943
Pendiente	-0,368	0,0246	-14,93	1,5·10⁻⁹	-0,4213	-0,3148

Identifique las variables.

X = edad al primer parto

Y = pérdida de peso post parto

Escriba el modelo lineal correspondiente y describa cada parámetro desde el punto de vista del problema. Calcule y grafique la recta de regresión.

El modelo básico puede formalizarse de la siguiente manera:

Yᵢ = b₀ + b₁·Xᵢ + eᵢ

Donde Yᵢ es el valor de la variable respuesta en el i-ésimo ensayo, b₀ y b₁ son parámetros, Xᵢ es el valor de la variable independiente en el i-ésimo ensayo y eᵢ es un término de error aleatorio.

b₀ = 55,28 estimador de b₀ (ordenada al origen) no tiene sentido en términos del problema.

b₁ = -0,368 estimador de b₁ (pendiente) indica cuanto disminuye la pérdida de peso post parto ante un aumento unitario de la edad al primer parto

ŷ = 55,28 - 0,368·X

Pruebe la hipótesis que sostiene: "a medida que aumenta la edad de la vaca, la pérdida de peso post parto es menor"

Prueba de hipótesis para b₁

El valor p es 1,5·10⁻⁹, por lo tanto, rechazo la hipótesis nula y hay regresión. Por lo tanto puedo afirmar que " a medida que aumenta la edad de la vaca, la pérdida de peso post parto es menor"

Estime un intervalo de confianza del 95 % para cada uno de los parámetros estimados.

Límites de confianza con 1 - a para b₀: b₀ ± t_{(n - 2; 1 - α/2)}·s(b₀)

P{b₁ - t·(1 - α/2; n - 2)·s·(b₁) ≤ β₁ ≤ b₁ + t·(1 - α/2; n - 2)·s·(b₁)} = 1 - α

LI 95 %	LS 95 %
53,4742 -0,4213	57,0943 -0,3148

Estime la varianza poblacional

CME = error típico 2 = 0,8464

¿Si la vaca Jersey tiene 24 meses al momento de parir, cual sería el peso promedio estimado de pérdida? Además de la estimación puntual, presente un intervalo de confianza del 90 %.

Estimación puntual

Si x = 24ŷ(24)

x = 55,28 - 0,368·24

x = 46,448

Estimación por intervalo

Datos:

CME = 0,8464

n = 15

S²·b₁ = 0,00060516

S²·b₀ = 0,70190884

Para calcular

S²·b₁ = CME·[1/n + (Xₖ - X)²/∑(Xᵢ - X)²]

Primero debo despejar

S²·b₁ = CME/∑(Xᵢ - X)² = 0,8464/∑(Xᵢ - X)² = 0,00060516

Luego:

∑(Xᵢ - x)² = 1.398,6383

Debo seguir despejando

S²·(b₀) = CME·[1/n + X²/∑(Xᵢ - X)²]

0,70190884 = 0,8464·(1/15 + X²/1.398,6383)

Luego:

X² = 1.066,63054

Entonces

X = 32,6593102

Finalmente

s²(Ŷ_A) = 0,8464·[1/15 + (24 - 32,659)²/1.398,6383]

s²(Ŷ_A) = 0,1018

s²(Ŷ_A) = 0,319

Intervalo de confianza para E(Yk)

Un IC de 1 - a para E(Yk) es: Ŷₖ ± t_{(n - 2; 1 - α/2)}·s(Ŷₖ)

46,448 ± 1,77·0,319

Finalmente el intervalo será

45,88337

47,01263

Interprete el coeficiente de determinación desde el punto de vista del problema.

El 94,5 % de las variaciones en y, están explicadas por las variaciones en x.

Autor: Olga Susana Filippini. Argentina.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).

Ejemplo, cómo analizar la regresión lineal y cómo calcular la varianza poblacional y el intervalo de confianza