Problema nº 5 de regresión lineal, varianza poblacional e intervalo de confianza - TP05
Enunciado del ejercicio nº 5
En un estudio sobre el crecimiento de coliflores precoces se contaron los números de hojas en las plantas de coliflor en varias fechas durante dos años, siendo el tamaño muestral de 10 plantas por fecha. Los datos son número promedio de hojas (Y) y suma acumulada de temperatura diaria por encima de 0 °C, dividido por 100 (X). Por varios trabajos anteriores, se asume que existe una relación lineal entre el número promedio de hojas y la suma acumulada de temperatura diaria por encima de 0 °C
| 1.956/7 | 1.957/8 | ||
| X₁ | Y₁ | X₂ | Y₂ |
| 2,3 4,0 5,1 5,6 7,0 8,7 9,8 | 3,8 6,2 7,2 8,7 10,2 13,5 15,0 | 2,3 4,5 5,1 6,2 7,0 7,6 9,0 | 6,0 8,5 9,1 12,0 12,6 13,3 15,2 |
56/57
X = 6,07142857
Estadísticas de la regresión
| Coeficiente de correlación múltiple Coeficiente de determinación R² R² ajustado Error típico Observaciones | 0,99619291 0,99240032 0,99088038 0,38105917 7 |
| Grados de libertad | Suma de cuadrados | Promedio de los cuadrados | F | Valor crítico de F | |
| Regresión | 1 | 94,8082552 | 94,8082552 | 652,922015 | 1,7142·10⁻⁶ |
| Residuos | 5 | 0,72603047 | 0,14520609 | ||
| Total | 6 | 95,5342857 |
| Coeficientes | Error típico | Estadístico t | Probabilidad | Inferior 95 % | Superior 95 % | |
| Intercepción | 0,03564668 | 0,38752684 | 0,09198505 | 0,93028166 | -0,96052114 | 1,0318145 |
| X₁ | 1,51412878 | 0,05925598 | 25,5523387 | 1,7142·10⁻⁶ | 1,36180669 | 1,66645087 |
| Observación | Pronóstico Y₁ | Residuos |
| 1 2 3 4 5 6 7 | 3,51814288 6,09216181 7,75770347 8,51476786 10,6345482 13,2085671 14,8741087 | 0,28185712 0,10783819 -0,55770347 0,18523214 -0,43454816 0,29143291 0,12589125 |
57/58
X = 5,95714286
Estadísticas de la regresión
| Coeficiente de correlación múltiple Coeficiente de determinación R² R² ajustado Error típico Observaciones | 0,99073884 0,98156344 0,97787613 0,47557246 7 |
| Grados de libertad | Suma de cuadrados | Promedio de los cuadrados | F | Valor crítico de F | |
| Regresión | 1 | 60,206297 | 60,206297 | 266,200287 | 1,5775·10⁻⁵ |
| Residuos | 5 | 1,13084583 | 0,22616917 | ||
| Total | 6 | 61,3371429 |
| Coeficientes | Error típico | Estadístico t | Probabilidad | Inferior 95 % | Superior 95 % | |
| Intercepción | 2,42319342 | 0,55307726 | 4,38129278 | 0,00714594 | 1,00146537 | 3,84492146 |
| X₂ | 1,43255746 | 0,08780268 | 16,3156455 | 1,5775·10⁻⁵ | 1,20685384 | 1,65826108 |
| Observación | Pronóstico Y₂ | Residuos |
| 1 2 3 4 5 6 7 | 5,71807557 8,86970199 9,72923646 11,3050497 12,4510956 13,3106301 15,3162106 | 0,28192443 -0,36970199 -0,62923646 0,69495033 0,14890436 -0,01063011 -0,11621056 |
Encuentre la ecuación de regresión lineal del número promedio de hojas respecto de la variable X, para cada año.
Modelo 56/57
Y = 0,03564668 + 1,51412878·X
Modelo 57/58
Y = 2,42319342+ 1,43255746·X
Considerando los intervalos de confianza de los parámetros de cada modelo conteste: ¿ambas fechas difieren en cuanto al número promedio de hojas por cada unidad de temperatura diaria acumulada por encima de 0 °C? ¿Y en cuanto al número de hojas cuando la temperatura acumulada es igual a 0?
Modelo 56/57
| Inferior 95 % | Superior 95 % | |
| Intercepción | -0,96052114 | 1,0318145 |
| X₁ | 1,36180669 | 1,66645087 |
Modelo 57/58
| Inferior 95 % | Superior 95 % | |
| Intercepción | 1,00146537 | 3,84492146 |
| X₂ | 1,20685384 | 1,65826108 |
Estime la varianza poblacional para ambos modelos
Modelo 56/57
CME = 0,14520609
Modelo 57/58
CME = 0,22616917
Calcule el valor estimado y el residual para la 3era observación del año 1.956/7
| Observación | Pronóstico Y₁ | Residuos |
| 3 | 7,75770347 | -0,55770347 |
Para X = 6,5 estime el número promedio de hojas a partir de un intervalo de confianza del 90 % para cada una de las fechas.
Modelo 56/57
Y(6,5) = 0,03564668 + 1,51412878·6,5 = 9,87748375
S²·(Ŷₖ) = CME·[1/n + (Xₖ - X)²/∑(Xᵢ - X)²] = 0,14520609·[⅐ + (6,5 - 6,07142857)/41,3542857] = 0,02224856
x = 6,07142857
| (x-x) | (x-x)² |
| -3,77142857 -2,07142857 -0,97142857 -0,47142857 0,92857143 2,62857143 3,72857143 | 14,2236735 4,29081633 0,94367347 0,2222449 0,8622449 6,90938776 13,9022449 |
| Suma | 41,3542857 |
Ŷₖ ± tn - 2;1 - α/2·S(Ŷₖ) = 9,87748375 ± 2,045·0,1491595
| 9,57245257 | 10,1825149 |
Modelo 57/58
Y(6,5) = 2,42319342 + 1,43255746·6,5 = 11,73481691
S²·(Ŷₖ) = CME·[1/n + (Xₖ - X)²/∑(Xᵢ - X)²] = 0,22616917·[⅐ + (6,5 - 5,95714286)/29,3371429] = 0,03649494
x = 5,95714286
| (x-x) | (x-x)² |
| -3,65714286 -1,45714286 -0,85714286 0,24285714 1,04285714 1,64285714 3,04285714 | 13,3746939 2,12326531 0,73469388 0,05897959 1,08755102 2,69897959 9,25897959 |
| Suma | 29,3371429 |
Ŷₖ ± tn - 2;1 - α/2·S(Ŷₖ) = 11,73481691±2,045·0,19103648
| 11,3441473 | 12,1254865 |
Autor: Olga Susana Filippini. Argentina.
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).
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Ejemplo, cómo analizar la regresión lineal y cómo calcular la varianza poblacional y el intervalo de confianza