Modelos de examen final de Algebra

Modelo de Final para Algebra

Problema nº 1

Sean: S₂ = {x ∈ ℜ³: x - y + z = 0} S₂ = {x ∈ ℜ³: x = y}

Hallar, si es posible, una transformación ortogonal T: ℜ³ ⟶ ℜ³ tal que (T(S₁))ˆS₂

Problema nº 2

Sea P₂ el conjunto de polinomios de coeficientes reales de grado menor o igual que 2 y T:P₂ ⟶ P₂

Definida por:

T(a₀ + a₁t + a₂t²) = (a₀ + 2·a₁ + c·a₂) + a₁t + (4·a₁ + 3·a₂)·t²

Hallar los valores de c para los cuales existe una base de P₂ tal que la matriz de T en esa base es diagonal

Problema nº 3

Sea V un ℜ espacio vectorial con producto interno. Probar que si x e y son vectores ortogonales de V, entonces para todo α ∈ ℜ

||αx - y|| ≥ ||y||

Es cierto que si α ≥ o entonces ||αx - y|| ≥ ||x||? Justificar

Problema nº 4

Sean S y T dos endosmorfismos de un espacio vectorial V tales que ST = TS,

Probar que los subespacios Nu(S) e Im(S) son invariantes por T

Problema nº 5

Resolver la siguiente ecuación

(x - 1)²y·dx + x²·(y + 1)·dy = 0

Modelo de Final para Algebra

Problema nº 1

Sean V y W espacios vectoriales sobre el cuerpo K de dimensiones n y m respectivamente y sea F:V ⟶ W una transformación lineal:

a) Probar que F es inyectiva ⇔ existe: G:W ⟶ V tal que G o F = Idv

b) ¿Qué puede decirse si F es sobreyectiva?

Problema nº 2

Sea L: P₂ ⟶ ℜ³ definida por

L(1 + x + x²) = (2, 0, 1)
L(1 + x²) = (3, 1, 0)
L(x + x²) = (1, -2, 3)

a) Hallar la matriz de L respecto de las bases {1, x, x2} y la canónica de R3

b) ¿Es posible hallar un polinomio P tal que L(P) = (1, 0, 0)? ¿Es único? Justificar

c) ¿Existen bases B1 de P2 y B2 de R3 tal que la matriz de L en esas bases sea la identidad?

d) Justificar

Problema nº 3

Sean V un espacio vectorial de dimensión finita y T: V ⟶ V una transformación lineal tal que T² = T,

Demostrar que:

a) Todo vector no nulo de la imagen es autovector

b) T es diagonalizable

c) ¿Cuánto vale la tr T? ¿Qué forma puede tener la matriz diagonal de T?

Problema nº 4

Hallar, si es posible, una transformación simétrica T: ℜ³ ⟶ ℜ³ tal que:

Im T = {x ∈ ℜ³: x + y - z = 0} y tr T = 4

Problema nº 5

Resolver:

(e²˙ʸ - y·cos (x·y))·dx + (2·x·e²˙ʸ - x·cos (x·y) + 2·y)·dy = 0

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).