Modelos de examen parcial de Análisis Matemático II
Modelo de 1° Parcial para Análisis Matemático II
Problema nº 1
Dada la función f:ℜ ⟶ ℜ; f(x) = 3·x³ + 2·x determinar todos los puntos de la gráfica de f en los que la recta tangente es paralela a la cuerda que une los puntos (-2, f(-2)) y (1,f(1)).
Problema nº 2
Calcular el límite de la siguiente sucesión:
xₙ = | ln (e³˙ⁿ - 1) |
| aₙ |
Donde se sabe que:
| lim n ⟶ ∞ | aₙ | = 3 |
| n |
Problema nº 3
Calcular la siguiente integral con un error menor que 0,001:
| ∫ | 1 | x⁴ 1 + (½·x)⁴ | ·dx |
| 0 |
Problema nº 4
Determinar todos los x ⊂ ℜ para los que la siguiente serie resulta convergente:
| ∞ ∑ n = 1 | in 2·n | ·xⁿ |
| n |
Problema nº 5
Calcular los siguientes límites:
| a) | lim x ⟶ 0 y ⟶ 0 | ex·(y + 1) - x - 1 |
| |2·x - y| |
| b) | lim x ⟶ 0 y ⟶ 0 | x·y² + y³ |
| 3·x² + y² |
Problema nº 6
Justifique la respuesta de cada ejercicio.
| Ej 1 | Ej 2 | Ej 3 | Ej 4 | Ej 5 |
| a b |
Problema nº 7
Analizar la convergencia:
| ∫ | +∞ | x² + 1 √x + x⁴ | ·dx |
| 0 |
| ∫ | +∞ | x + 1 ∛x + x³ | ·dx |
| 0 |
Modelo de 1° Parcial para Análisis Matemático II
Problema nº 1
Decida cual de las siguientes afirmaciones es verdadera y cual falsa. (La verdadera pruébela y para la falsa, dé un contraejemplo).
Afirmación 1) Si f:ℜ ⟶ ℜ es una función contínua y acotada entonces existe por lo menos un punto x₀ ⊂ ℜ tal que f(x₀) = x₀
Afirmación 2) Si f:ℜ ⟶ ℜ es una función contínua y acotada entonces existe una cantidad finita de puntos x₁, x₂, …, xₙ tales que f(x₁) = x₁
Problema nº 2
Hallar todos los números reales p > 0 tales que la siguiente integral resulte convergente.
| ∫ | +∞ | 1 x·lnᵖ 3·x | ·dx |
| 1 |
Problema nº 3
Calcular el valor de la siguiente integral con error menor que 10³
| ∫ | 1 | e³˙ˣ - 1 x | ·dx |
| 0 |
Problema nº 4
Hallar todos los x ⊂ ℜ tal que la siguiente serie resulte convergente.
| ∞ ∑ n = 1 | [sen (1/n)]²·(2·xⁿ) |
Problema nº 5
Sea f(x) = x·cos x + sen x/3.
a) Hallar la serie de Taylor centrada en 0 de la función f(x)
b) Hallar todos los x ⊂ ℜ tal que la serie hallada en (i) coincida con f(x)
c) Hallar fⁿ(0), n ⊂ N
Problema nº 6
Hallar todos los números reales a > 0 tal que la siguiente función resulte contínua en ℜ²
| f(x, y) = | xa·y | Si | (x, y) ≠ (0, 0) | |
| x⁴ + y² | ||||
| 0 | Si | (x, y) = (0, 0) |
Modelo de 1° Parcial para Análisis Matemático II
Problema nº 1
Calcular el límite de la siguiente sucesión.
| aₙ = | ⁿ√(n + 1)·(n + 2)·(n + 3)…(2·n - 1)·2·n |
| n |
Problema nº 2
Analizar la convergencia de la siguiente integral impropia.
| ∫ | +∞ | x √1 + x⁵ | ·dx |
| 0 |
Problema nº 3
Hallar todos los x ⊂ ℜ para los que la siguiente serie resulta convergente.
| ∞ ∑ n = 1 | xⁿ |
| n + √n |
Problema nº 4
Calcular el valor de la siguiente integral con error < 10⁻⁵
| ∫ | 1 | e⁻½·x²·dx |
| 0 |
Problema nº 5
Dada la función f:D ⊂ ℜ² ⟶ ℜ definida por:
f(x, y) = x·y·(sen 1/x)·(sen 1/y)
a) Calcular D
b) Redefinirla, si es posible, de modo tal que resulte contínua en todo ℜ²
Modelo de 1° Parcial para Análisis Matemático II
Problema nº 1
Calcular el siguiente límite:
| lim n ⟶ ∞ | (1 + sen | 4 | )cotg 1/n |
| n |
Problema nº 2
Analizar la convergencia de la siguiente integral impropia:
| ∫ | +∞ | 1 √x·(1 + x) | ·dx |
| 0 |
Problema nº 3
Calcular el valor de la siguiente integral con error menor que 10⁻³
| ∫ | -1 | e⁻ˣ - 1 + x x² | ·dx |
| 0 |
Problema nº 4
Hallar todos los x ⊂ ℜ tal que la siguiente serie resulte convergente.
| ∞ ∑ n = 0 | (-3)ⁿ·xⁿ |
| √n² + 3 |
Problema nº 5
Hallar todos los números reales a > 0 tal que la siguiente función resulte contínua en ℜ²
| f(x, y) = | |x|a·y/(x⁶ + y⁴) | Si | (x, y) ≠ (0, 0) |
| 0 | (x, y) = (0, 0) |
Problema nº 6
Justifique todo.
Modelo de 1° Parcial para Análisis Matemático II
Problema nº 1
Probar que:
1 + x/2 - x²/8 < √1 + x < 1 + x/2 para x > 0.
Problema nº 2
Calcular el radio de convergencia y estudiar el comportamiento en el borde de la región de convergencia de la siguiente serie de potencias:
| ∞ ∑ n = 2 | xⁿ |
| n·(ln n)³ |
Problema nº 3
Probar que:
| ∞ ∑ n = 2 | [ | 5ⁿ ⁺ ¹ | + | (-1)ⁿ | ] |
| 32·n + 3 | n·5ⁿ |
Es convergente y calcular su suma con error menor que 10⁻³
Problema nº 4
Sea f:ℜ ⟶ ℜ una función que verifica que f(0) = -9 y f'(x) ≥ (x² - 9), ∀ x ⊂ ℜ. Probar que existe t > 0 tal que f(t) = 0.
Problema nº 5
Analizar la convergencia de:
| ∫ | 3 | 1 √x - 2 + sen² (x - 2) | ·dx |
| 2 |
Problema nº 6
Justifique la respuesta de cada ejercicio
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).
Serie de Taylor, análisis de convergencia.