Modelos de examen parcial de Análisis Matemático II

Modelo de 2° Parcial para Análisis Matemático II

Problema nº 1

Sea f(x, y) = x^½·y^½

a) Usando definición de derivada direccional mostrar que ∂f/∂x (0, 0) = ∂f/∂y (0, 0) = 0
y que ± ē₁; ± ē₂ son las únicas direcciones para las cuales existe derivada direccional en el (0, 0)

b) ¿Es contínua en (0, 0)?

c) Es diferenciable en (0, 0)

Problema nº 2

sea g:ℜ² ⟶ ℜ/g(u, v) = v·u² + v² y f:ℜ² ⟶ ℜ²/f(x, y) = (f₁(x, y), f₂(x, y)) con u = f₁(x, y) = x² + 2·y; v = f₂(x, y) definida implícitamente por x³ + v³ - 3·y²·v = 0. Calcular (g o f)(1, 0).

Problema nº 3

Hallar los puntos de la superficie donde el plano tangente es perpendicular a la recta.

x - 3·y + 2 = 0
2·x + 3·z = 5

Problema nº 4

Encontrar extremos de Z = x⁴ + y⁴ - 2·x² + 4·x·y - 2·y²

Problema nº 5

Sea f:ℜ² ⟶ ℜ diferenciable en (a, b)/Q'x(a, b) = f'y(a, b) = 0

Demostrar que

Modelo de 2° Parcial para Análisis Matemático II

Problema nº 1

Sean S₁ y S₂ superficies abiertas regulares y simples incluidas en un abierto de ℜ³, ambas con la misma curva frontera C. Si F = ∇f. ∇g con f:ℜ³ ⟶ ℜ y g:ℜ³ ⟶ ℜ funciones de clase C¹.

a) Mostrar que F es solenoidal

b) Si el flujo de F a través de S₁ es 3·π, calcular ∬_S2 F·ǔ·ds

Problema nº 2

Sea "C" cualquier camino que une un punto P₁ = (x₁, y₁, z₁) de la esfera x² + y² + z² = a² con un punto P₂ = (x₂, y₂, z₂) de la esfera de radio b. Mostrar que si F = 5·||ř³||·ř, donde ř = (x, y, z) ⟶ ∫ F·dx = b⁵ - a⁵

Problema nº 3

Calcular la masa total de la superficie semiesférica Z = (r² - x² - y²)^½ si la densidad está dada por δ (x, y, z) = x² + y²

Problema nº 4

a) Calcular Φ_C √y·dx + (x + y)·dy siendo C la frontera del recinto D = {(x, y)/y - x = 0; y = 0; y = 1; y² = x - 1}

b) Verificar el teorema de Green

Problema nº 5

Sea φ: ℜ³ ⟶ ℜ/φ ⊂ C¹. Calcular ∬_S ∇φ·ǔ·ds siendo φ (x, y, z) = x·y·z y S la superficie limitada por el cilindro x² + y² = 16 en el primer octante y para 0 ≤ z ≤ 5.

Modelo de 2° Parcial para Análisis Matemático II

Problema nº 1

Sea V un volumen limitado por la superficie S. Probar estableciendo condiciones apropiadas para el campo escalar Ø y el campo vectorial G la igualdad

∭_V ∇Φ·∇x·g·dv = ∬_S g·x·∇Φ·U·dS

Problema nº 2

Sea.

F(x, y, z) = [-y/(x² + y²); x/(x² + y²); 0]

a) Demostrar que F es irrotacional

b) Demostrar que F es conservativo

Problema nº 3

Calcular

a)

a largo de la curva x^⅔ + y^⅔ = 2

b) A lo largo de la elipse x²/4 + y²/9 = 1

Problema nº 4

Calcular el área de la porción de cono x² + y² = 3·z², interior al cilindro x² + y² = 4·y con z ≥ 0

Problema nº 5

Sea la curva C: X(t) = (2·cos t, 2·sen t, 2·sen t) con t ⊂ [0,2·π] y F ⊂ C¹/rot F = (z, 0, 1 - x).

a) Exprese C como intersección de dos superficies

b) Calcule la circulación de F a lo largo de C

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).

Superficies abiertas regulares.