Modelos de examen parcial de Análisis Matemático II. Resuelto

Modelo de 2° Parcial para Análisis Matemático II

Problema nº 1

Calcular el área de la superficie generada por la rotación, alrededor del eje y, del arco de curva y³ - 3·x = 0, comprendido entre los puntos (0, 0) y (9, 3).

y³ - 3·x = 0 ⇒ ⅓·y³ = x = f(y)

Aplicamos:

Calculamos:

A = ⅑·π·[√(1 + 3⁴)³ - √(1 + 0⁴)³]

A = ⅑·π·[√(1 + 81)³ - √(1)³]

A = ⅑·π·(√82³ - √1)

A = ⅑·π·(82·√82 - 1)

Problema nº 2

Calcular la integral del campo:

Sobre la curva y = eˣ, desde el punto (1, e) hasta el punto (0, 1).

Verificamos las derivadas parciales cruzadas:

Cumple para (x, y) ≠ (0, 0).

Verificamos:

F(X·t) = t^α·F(x) ⟶ α ≠ -1

F(X·t) = t^⅓·F(x) ⟶ α ≠ -1

Se trata de un campo homogéneo y conservativo para (x, y) ≠ (0, 0).

φ(x, y) = ¾·∛(9·x² + y²)²

Calculamos la diferencia de potencial:

∫_C F·dC = φ(0, 1) - φ(1, e)

∫_C F·dC = ¾·∛(9·0² + 1²)² - ¾·∛(9·1² + e²)²

∫_C F·dC = ¾·[1 - ∛(9 + e²)²]

Problema nº 3

Escribir la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie X(u, v) = (v² - u², u + v, v²), en el punto (3, -1, 4).

Verificamos el punto:

v² - u² = 3

u + v = -1

v² = 4 ⇒ v = ±2

(±2)² - u² = 3 ⇒ u² = 4 - 3 ⇒ u = ±1

u + v = -1 ⇒ 1 - 2 = -1

Resulta para:

u = 1

v = -2

Entonces:

X(1, -2) = (3, -1, 4)

Calculamos el vector normal:

Xᵤ = (-2·u, 1, 0) ⇒ Xᵤ(1, -2) = (-2, 1, 0)

Xᵥ = (2·v, 1, 2·v) ⇒ Xᵥ(1, -2) = (-4, 1, -4)

Calculamos la ecuación del plano:

Z·Xᵤ×Xᵥ = X(1, -2)·Xᵤ×Xᵥ

(x, y, z)·(-4, -8, 2) = (3, -1, 4)·(-4, -8, 2)

-4·x - 8·y + 2·z = -12 + 8 + 8

2·x + 4·y - z = -2

Problema nº 4

Verificar el teorema de Stokes, si F = (y, x², z·x) y S es el hemisferio x² + y² + z² = 4, z ≥ 0.

Aplicamos:

∮_C F·dC = ∬_S rot F·dS

Calculamos el primer miembro, parametrizamos la frontera sobre el plano z = 0:

C(t) = (2·cos t, 2·sen t; 0)

0 ≤ t ≤ 2·π

Derivamos:

C'(t) = (-2·sen t, 2·cos t, 0)

F(C(t)) = (2·sen t, (-2·cos t)², 0·(-2·cos t)) = (2·sen t, 4·cos² t, 0)

Armamos la integral:

El primer miembro resulta:

∮_C F·dC = -4·π

Para el segundo miembro calculamos primero el rotor de F:

Parametrizamos la superficie, pero elegimos parametrizar el círculo base que tiene el mismo borde:

X(r, t) = (r·cos t, r·sen t, 0)

0 ≤ r ≤ 2

0 ≤ t ≤ 2·π

Calculamos el vector normal:

Xᵣ = (cos t, sen t, 0)

Xₜ = (-r·sen t, r·cos t, 0)

n = (0, 0, r)

Como "r" es siempre positivo el vector normal apunta hacía la parte positiva de "z", significa página interior de la superficie elegida.

∬_S rot F·dS = ∬_S1 rot F·dS

rot F(X(r, t)) = (0, 0, 2·r·cos t - 1)

∬_S rot F·dS = ∬_D (0, 0, 2·r·cos t - 1)·(0, 0, r)·dt·dr = ∬_D (2·r²·cos t - r)·dt·dr

∬_S rot F·dS = -2·2·π

El segundo miembro resulta:

∬_S rot F·dS = -4·π

Verificándose:

∮_C F·dC = ∬_S rot F·dS = -4·π

Problema nº 5

Integrar las siguientes ecuaciones diferenciales:

a) x·dy + y·dx = eˣ·dx, y(1) = 1

b) y" - 3·y' = e⁻ˣ + x² + 2

a)

x·dy = -y·dx + eˣ·dx ⇒ x·dy = (-y + eˣ)·dx ⇒ ∫ x·dy = ∫ (-y + eˣ)·dx

x·y - eˣ = c ⇒ x·y = eˣ + c ⇒ y = (eˣ + c)/x

Para y(1) = 1:

1·1 = e¹ + c ⇒ 1 = e + c ⇒ 1 - e = c

La solución particular es:

yₚ = (eˣ + 1 - e)/x

b)

Hallamos las raíces para la integral homogénea:

λ² - 3·λ = 0 ⇒ (λ - 3)·λ = 0

λ₁ = 0

λ₂ = 3

La integral homogénea es:

y* = C₁·e⁰˙ˣ + C₂·e³˙ˣ ⇒ y* = C₁ + C₂·e³˙ˣ

y = a·x³ + b·x² + c·x + d·e⁻ˣ

y' = 3·a·x² + 2·b·x + c - d·e⁻ˣ

y" = 6·a·x + 2·b + d·e⁻ˣ

Debe cumplir:

y" - 3·y' = e⁻ˣ + x² + 2

6·a·x + 2·b + d·e⁻ˣ - 9·a·x² - 6·b·x - 3·c + 3·d·e⁻ˣ) = e⁻ˣ + x² + 2

4·d·e⁻ˣ - 9·a·x² + 6·a·x - 6·b·x + 2·b - 3·c = e⁻ˣ + x² + 2

4·d·e⁻ˣ = e⁻ˣ ⇒ 4·d = 1 ⇒ d = ¼
- 9·a·x² = x² ⇒ - 9·a = 1 ⇒ a = -⅑
6·a·x - 6·b·x = 0·x ⇒ 6·a - 6·b = 0 ⇒ a - b = 0 ⇒ b = a ⇒ b = -⅑
2·b - 3·c = 2 ⇒ 3·c = 2·b - 2 ⇒ c = (2·b - 2)/3 ⇒ c = (2·(-⅑) - 2)/3 ⇒ c = -20/27

y = -1·x³/9 - 1·x²/9 - 20·x/27 + e⁻ˣ/4

La integral general es:

y = C₁ + C₂·e³˙ˣ - x³/9 - x²/9 - 20·x/27 + e⁻ˣ/4

Problema nº 6

Calcular el flujo saliente del campo F(x) = (y, z, x·z) a través de la frontera del sólido T definido por las siguientes desigualdades:

x² + y² ≤ z ≤ 1, x ≥ 0.

Problema nº 7

Demostrar que un campo central F = α(r)·X definido en un abierto conexo U ⊆ ℜⁿ es conservativo en U.

Modelo de 2° Parcial para Análisis Matemático II

Problema nº 1

Escribir la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie X(u, v) = (v·u³, v² - u, v²), en el punto (1, 2, 1).

Problema nº 2

Calcular el área de la superficie generada por la rotación, alrededor del eje x, del arco de curva y² - 2·x = 0, comprendido entre los puntos (2, 2) y (8, 4).

Problema nº 3

Calcular la integral del campo:

Sobre la hipérbola (y - 1)·(x - 2) = 1, desde el punto (0,½) hasta el punto (1,0).

Problema nº 4

Integrar las siguientes ecuaciones diferenciales:

a) x·y" - x²·cos x = y, y(1) = 1

b) y" + 2·y' = 3 + sen x

Problema nº 5

Calcular el flujo saliente del campo F(x) = (x·y, x, y) a través de la frontera del sólido T definido por las siguientes desigualdades:

x² + y² ≤ z²

0 ≤ z ≤ 2

x ≥ 0

y ≥ 0

Problema nº 6

Verificar el teorema de Stokes, si F = (y, - x·z, z²) y S es la porción de paraboloide z = x² + y², z ≤ 9.

Problema nº 7

Demostrar que si F es un campo homogéneo de grado α ≠ -1 en un abierto conexo U ⊆ ℜ², y su matriz jacobiana es simétrica, entonces el campo F es conservativo en U.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).