Casos de Factoreo: trinomio cuadrado perfecto. Factorización

Tercer caso de factoreo

Un trinomio cuadrado perfecto tiene la siguiente forma:

a² ± 2·a·b + b²

Este trinomio es el resultado de aplicar la propiedad distributiva al cuadrado de un binomio:

(a ± b)²

Así:

a² ± 2·a·b + b² = (a ± b)²

Para factorearlo aplicamos raíz cuadrada a los términos elevados al cuadrado o a una potencia par, en éste caso a² y b²:

√a² = ±a.

√b² = ±b

Luego verificamos que el resultado de éstas raíces multiplicado por 2 sea igual al tercer término (por el momento omitimos el signo ±):

2·a·b = 2·a·b (éste es un caso sencillo)

Con respecto al signo ± dependerá del signo de b, como regla debemos tomar el signo como sigue:

a² + 2·a·b + b² = (a + b)²

a² - 2·a·b + b² = (a - b)²

Así queda factoreado.

9·x⁴ - 12·x²·y + 4·y²

Identificamos los términos cuadrados y aplicamos raíz cuadrada:

√9·x⁴ = 3·x²

√4·y² = 2·y

El doble producto de los resultados anteriores debe ser igual 12·x²·y:

2·(3·x²)·(2·y) = 12·x²·y

Por lo tanto el polinomio factoreado es:

9·x⁴ - 12·x²·y + 4·y² = (3·x² - 2·y)²

Observen el signo negativo del segundo término.

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

¿Qué es un trinomio cuadrado perfecto?