Casos de Factoreo: cuatrinomio cubo perfecto. Factorización

Cuarto caso de factoreo

Un cuatrinomio cubo perfecto tiene la siguiente forma:

a³ ± 3·a²·b + 3·a·b² ± b³

Este cuatrinomio es el resultado de aplicar la propiedad distributiva al cubo del binomio:

(a ± b)³

Así:

(a ± b)³ = a³ ± 3·a²·b + 3·a·b² ± b³

Para factorearlo, primero debemos buscar los términos elevados al cubo y hallar la raíz cúbica de ellos, en la ecuación los términos son a³ y b³:

a = ³√a³

b = ³√b³

A los otros dos términos los dividimos por 3 y verificamos que los resultados sean:

a·a·b y a·b·b

Luego armamos el binomio:

(a ± b)³

Con respecto al signo ± dependerá del signo de b, como regla debemos tomar el signo como sigue:

(a + b)³ = a³ + 3·a²·b + 3·a·b² + b³

(a - b)³ = a³ - 3·a²·b + 3·a·b² - b³

• Nota: o todos los términos son positivos o son negativos únicamene los términos dónde el exponente de b es impar.

8·a³·x⁶ - 36·a²·x⁴·y³ + 54·a·x²·y⁶ - 27·y⁹

Observamos que es un cuatrinomio (4 monomios o términos) y que los término "8·a³·x⁶" y "27·y⁹", por lo que hallamos su raíz cúbica:

³√8·a³·x⁶ = 2·a·x²

³√-27·y⁹ = -3·y³

Luego dividimos el segundo y el tercer término entre 3 y analizamos:

(-36·a²·x⁴·y³)/3 = -12·a²·x⁴·y³ = -(2·a·x²)²·3·y³

(54·a·x²·y⁶)/3 = 18·a·x²·y⁶ = 2·a·x²·(3·y³)²

Queda verificado, presentamos el resultado:

8·a³·x⁶ - 36·a²·x⁴·y³ + 54·a·x²·y⁶ - 27·y⁹ = (2·a·x² - 3·y³)³

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

¿Qué es el cuatrinomio cubo perfecto?