Casos de Factoreo: sumas o restas de potencias de igual grado. Factorización
Sexto caso:
1- Suma de potencias de igual grado con exponente impar
Son binomios del tipo:
aⁿ + bⁿ
Con "n" impar.
Este binomio es divisible únicamente por la suma de sus bases:
a + b
Así, por ejemplo para n = 3:
(a³ + b³)/(a + b) = (a² - a·b + b²)
Simplemente se aplica división de polinomios.
Expresando el resultado como:
(a³ + b³) = (a + b)·(a² - a·b + b²)
Ejemplo nº 1
x³ + 27
Como 27 = 3³:
x³ + 3³
Según la definición, éste binomio, es divisible por la suma de sus bases:
(x³ + 3³)/(x + 3)
Dividiendo:
| + x³ | + 0·x² | + 0·x¹ | + 27 | x + 3 | |
| - x³ | - 3·x² | x² - 3·x + 9 | |||
| 0 | - 3·x² | ||||
| + 3·x² | + 9·x | ||||
| 0 | + 9·x | ||||
| - 9·x | - 27 | ||||
| 0 | 0 |
Resultado:
(x³ + 3³) = (x + 3)·(x² - 3·x + 9)
2- Diferencia de potencias de igual grado con exponente impar
Son binomios del tipo:
aⁿ - bⁿ
Con "n" impar.
Este binomio es divisible únicamente por la diferencia de sus bases:
a - b
Así, por ejemplo para n = 3:
(a³ - b³)/(a - b) = a² + a·b + b²
Simplemente se aplica división de polinomios.
Expresando el resultado como:
(a³ - b³) = (a - b)·(a² + a·b + b²)
Ejemplo nº 2
y³ - 8
Como 8 = 2³:
y³ - 2³
Según la definición, éste binomio, es divisible por la diferencia de sus bases:
(y³ - 2³)/(y - 2)
Dividiendo:
| + y³ | + 0·y² | + 0·y¹ | - 8 | y - 2 | |
| - y³ | + 2·y² | y² + 2·y + 4 | |||
| 0 | + 2·y² | ||||
| - 2·y² | + 4·y | ||||
| 0 | + 4·y | ||||
| - 4·y | + 8 | ||||
| 0 | 0 |
Resultado:
(y³ - 2³) = (y - 2)·(y² + 2·y + 4)
3- Diferencia de potencias de igual grado con exponente par
Son binomios del tipo:
aⁿ - bⁿ
Con "n" par.
Este binomio es divisible por la suma y por la diferencia de sus bases:
a + b
y
a - b
Así, por ejemplo para n = 4:
(a⁴ - b⁴)/(a + b) = a³ - a²·b + a·b² - b³
Y
(a⁴ - b⁴)/(a - b) = a³ + a²·b + a·b² + b³
Observar los signos.
Recordemos que en la división de un polinomio por otro de grado uno (como en estos casos), el resultado es un polinomio de un grado menos, es decir "n - 1".
Se recomiendo observar, también, cómo decrece el exponente del primer término del polinomio resultado desde "n - 1" hasta cero a medida que crece el exponente del segundo término desde cero hasta "n - 1".
Expresando el resultado como:
(a⁴ - b⁴) = (a + b)·(a³ - a²·b + a·b² - b³)
Y
(a⁴ - b⁴) = (a - b)·(a³ + a²·b + a·b² + b³)
Ejemplo nº 3
x⁴ - 81
Como 81 = 3⁴:
x⁴ - 3⁴
Según la definición, éste binomio, es divisible por la suma y por la diferencia de sus bases, veamos con la suma:
(x⁴ - 3⁴)/(x + 3)
Dividiendo:
| x⁴ | 0·x³ | 0·x² | 0·x¹ | -81 | x + 3 | |
| -x⁴ | -3·x³ | x³ -3·x² + 9·x - 27 | ||||
| 0 | -3·x³ | |||||
| 3·x³ | 9·x² | |||||
| 0 | 9·x² | |||||
| -9·x² | -27·x | |||||
| 0 | -27·x | |||||
| 27·x | 81 | |||||
| 0 | 0 |
Resultado:
(x⁴ - 3⁴) = (x + 3)·(x³ -3·x² + 9·x - 27)
Con la resta es similar, solo cambian los signos.
4- Suma de potencias de igual grado de exponente par
No se puede factorear.
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
¿Qué es suma o diferencia de cubos perfectos?