Problema nº 5 de casos de factoreo o factorización, factorizar expresiones algebraicas - TP02
Enunciado del ejercicio nº 5
Reducir a su más simple expresión:
| 5·a⁴ - 5 | = |
| (3·a² + 3)·(a² + 2·a + 1) |
Solución
En el numerador extraemos factor común 5:
| 5·a⁴ - 5 | = | 5·(a⁴ - 1) | = |
| (3·a² + 3)·(a² + 2·a + 1) | (3·a² + 3)·(a² + 2·a + 1) |
Luego aplicamos diferencia de cuadrados:
| 5·(a⁴ - 1) | = | 5·(a² - 1)·(a² + 1) | = |
| (3·a² + 3)·(a² + 2·a + 1) | (3·a² + 3)·(a² + 2·a + 1) |
Nuevamente aplicamos diferencia de cuadrados:
| 5·(a² - 1)·(a² + 1) | = | 5·(a - 1)·(a + 1)·(a² + 1) | = |
| (3·a² + 3)·(a² + 2·a + 1) | (3·a² + 3)·(a² + 2·a + 1) |
En el caso de numerador podríamos haber dividido por (a - b) y luego por (a + b) con el mismo resultado, pero es más sencillo aplicar diferencia de cuadrados.
En el denominador extraemos factor común 3 del primer factor:
| 5·(a - 1)·(a + 1)·(a² + 1) | = | 5·(a - 1)·(a + 1)·(a² + 1) | = |
| 3·(a² + 1)·(a² + 2·a + 1) | (3·a² + 3)·(a² + 2·a + 1) |
El segundo factor del denominador es un trinomio cuadrado perfecto:
| 5·(a - 1)·(a + 1)·(a² + 1) | = | 5·(a - 1)·(a + 1)·(a² + 1) | = |
| 3·(a² + 1)·(a² + 2·a + 1) | 3·(a² + 1)·(a + 1)² |
Simplificamos:
| 5·(a - 1)·(a + 1)·(a² + 1) | = | 5·(a - 1) | = |
| 3·(a² + 1)·(a + 1)2 | 3·(a + 1) |
Finalmente queda:
| 5·a⁴ - 5 | = | 5·(a - 1) |
| (3·a² + 3)·(a² + 2·a + 1) | 3·(a + 1) |
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo factorizar expresiones algebraicas